赫爾使用什麼類比來為具有已知現金紅利的歐洲看漲期權定價？
來自赫爾的書：
赫爾的評論：
- 該規則類似於第 14.12 節中開發的用於評估支付已知現金股息的股票的歐式期權的規則。（在這種情況下，我們得出結論，將股票價格減去股息的現值是正確的；在這種情況下，我們以股息收益率折現股票價格。）
14.12 說的是是否存在已知的未來現金股息 $ (D,\tau) $ 那麼一開始的歐式看漲價就是替換得到的值 $ S_0 $ 和 $ S_0-D_0 $ 在 BS 公式中 $ D_0=De^{-r\tau} $ 表示當時現金股利的現值 $ 0 $ .
然而，我很困惑赫爾是如何開發這種類似物的。
我試圖類比他關於連續股息收益率的論點：在已知現金股息的情況下 $ (D,\tau) $ 假設我們的股票從 $ S_0 $ 有時 $ 0 $ 至 $ S_T $ 有時 $ T $ ; 那麼在沒有這種股息的情況下，我認為股票會增長到 $ S_T + De^{r(T-\tau)} $ （有點懷疑）；因此，增長率為 $ (S_T + De^{r(T-\tau)})/S_0 $ . 現在，沒有任何股息，初始股價會增長到多少 $ S_T $ 按照這個比例？肯定是 $ S_T/((S_T + De^{r(T-\tau)})/S_0) $ . 所以這意味著替換 $ S_0 $ BS 公式中的這個金額給出了已知現金股息的情況下的價格，這完全是荒謬的，因為赫爾給出的正確公式代替了 $ S_0 $ 和 $ S_0-De^{-r\tau} $ 反而。
那麼我的推理有什麼問題，證明這個類比的正確方法應該是什麼？
請記住，Black-Scholes 公式適用於對數正態分佈（根據 $ \Bbb{Q} $ ) 終端資產價格 $ S_T $ . 寫這個假設很方便
$$ S_T \underset{\Bbb{Q}}{\sim} \ln \mathcal{N}\left( \ln(F(0,T))-\frac{1}{2}\sigma^2 T, \sigma^2 T \right) \tag{A} $$ 因為它表明遠期價格是未來資產價格的風險中性預期 $$ \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} [ S_T ] = F(0,T) $$ 什麼時候 $ (A) $ 持有，歐洲罷工呼籲的價格 $ K $ 和成熟 $ T $ 讀取（布萊克-斯科爾斯公式）
$$ C(K,T) = DF(0,T) \left( F(0,T) N(d_+) - K N(d_-) \right) $$ $$ d_{\pm} = \frac{\ln\left( \frac{F(0,T)}{K}\right) \pm \frac{1}{2}\sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}} $$ 現在想想股息如何影響遠期價格**$$ MODEL 1 $$（股息收益率模型）和$$ MODEL 2 $$**（託管模型）。
- $$ MODEL 1 $$: 求解對應的 SDE
$$ dS_t/S_t = (r-q)dt + \sigma dW_t^\Bbb{Q},,,, S(0)=S_0 $$ 產量 $ S_T = S_0 e^{(r-q)T} \mathcal{E}\left[\sigma W_T^\Bbb{Q}\right] $ （對數正態），因此是遠期價格 $$ F(0,T) = S_0 e^{(r-q)T} = \underbrace{S_0 e^{-qT}}_{S_0^*} e^{rT} \tag{B} $$
- $$ MODEL 2 $$: 求解對應的 SDE
$$ dS_t/S_t = r dt + \sigma dW_t^\Bbb{Q},,, S(0)=S_0-De^{-r\tau} $$ 產量 $ S_T = S(0)e^{(r)T} \mathcal{E}\left[\sigma W_T^\Bbb{Q}\right] $ （對數正態），因此是遠期價格 $$ F(0,T) = \underbrace{\left( S_0 -De^{-r\tau} \right)}_{S_0^*} e^{rT} \tag{C} $$
這表明，在這兩種模型下，都可以使用 BS 公式 $ (A) $ 前提是用每個相應建模假設下的遠期價格替換遠期價格，這在數學上等同於使用即期價值（僅查看 BS 公式） $ S_0^* $ （看 $ (B) $ 和 $ (C) $ ） 代替 $ S_0 $ .