試圖捕捉股票價格回報的模型中的布朗運動是什麼？
我讀過在 Black-Scholes PDE 的推導中，我們假設股票的回報 $ S $ 是（誰）給的 $$ \frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dB $$ 在哪裡 $ \mu $ 是平均增長率 $ S $ , $ \sigma $ 是波動率 $ S $ （假設常數）和 $ dB $ 是布朗運動的無窮小增量。
我的問題是，是 $ \sigma dB $ 試圖代表“隨機”波動 $ S $ 從人們交易股票的速度來看，或者它是否試圖捕捉到 $ S $ 由於外部資訊，例如公司收益或某些地緣政治新聞。
是的。
了解布朗運動為何/如何在一般股票的增長中發揮作用，以及它在衍生品定價中所起的作用，因為後者相當複雜，這可能會證明是有用的。以下隨機微分方程表示股票價格如何遵循幾何布朗運動：
$ dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t)\ dW(t, w) $
- 在哪裡 $ S(t) $ 是一次股票的價格 $ t $ 大於或等於 0（並且數量為 $ S(t) $ 是一個隨機變數。
- $ \mu > 0 $ 是股票價格增長的速度（假設它是恆定的，即與系統狀態無關）。
- $ \sigma > 0 $ 是股票的波動率，它也被假定為常數。
- $ W(t) $ 是一個標準的布朗運動（也稱為韋納過程——同樣的事情，布朗發現了它，但他是植物學家，因此無法解釋它，然後韋納出現並能夠解釋它）。
這個 SDE的平均值是
$ \mathbf{E}[S(t)] = S_{0}e^{\mu t} $
並且變異數將被描述為
$ Var [S(t)] = S_{0}^2e^{2 \mu t}(e^{\sigma ^2t-1} $ )
現在關於：
是個 $ σdB $ 試圖從人們交易股票的速度來表示 S 的“隨機”波動，或者它是否試圖捕捉 S 由於外部資訊（如公司收益或某些地緣政治新聞）而出現的變動。
正如 Alex C 在評論中所說，這兩種解釋都可以作為幾何布朗運動集來解釋隨機波動資產體驗，並且考慮到幾何布朗運動被認為是所謂的馬爾可夫過程這一事實，它假設過去的行為/波動/價格/已經包含的任何內容。這也是有效市場假設如何發揮作用的，正如已經說過的：EMH 是資產價格完全反映所有可用資訊的想法，即，回到納入所有先前價格波動的想法。這也意味著資產價格的所有未來波動/變動將是有條件的獨立。
我們也可以用
$ \frac{\Delta}{\Delta S} = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t} $
又在哪裡 $ S $ 是股價， $ \mu $ 是預期回報， $ \sigma $ 是收益的標準差， $ t $ 是時間，並且 $ \epsilon $ 是一個隨機變數。
這可以簡單地重新排列，因此我們可以解決股票價格的變化 $ S $ .
$ \Delta S = S(\mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta T}) $
雖然我們看到一些事情發生了一些變化，但主要是我們現在有一個代表漂移的術語，第二個是衝擊，即價格將根據預期回報向上漂移 - 這就是衝擊的來源（取決於漂移的作用）將被添加到漂移中或從漂移中減去。
如果所有的機率論都太多了，我認為這可能是一個很好的視覺化方法；考慮資產遵循這些增量步驟，並且這些步驟中的每一個都是漂移，其中增加或減少了衝擊。
幾何布朗運動具有幾個特性，使其在用於對衍生品定價模型的某些部分進行建模時具有吸引力。
- 原因之一是 $ S(t) > 0 $ 對所有人 $ t \in [0, T] $ 在這種定價選項的背景下，這應該是直覺的。
- 正態性：布朗運動的增量定義為時間 $ t $ 在另外兩個時刻之間，說 $ s $ 和 $ s + t $ 將是 $ B_{s+t} - B_{s} $ 也與 $ N(0, t) $ …意味著它是正態分佈的，均值和變異數為零 $ t $ .
- 是連續的； $ B_{t} $ 具有連續路徑，以及 $ B(t ,0) = 0 $ .
如果看起來好像有些事情沒有加起來/沒有意義，那麼您並不孤單，也沒有偶然發現任何深刻的東西，因為眾所周知，目前的期權定價模型存在問題以及幾何布朗運動如何發揮作用. 我建議閱讀為什麼我們應該期望幾何布朗運動來模擬資產價格？有關使用它的原因和限制的更多資訊。
在等式中$$ \frac{dS}{S}=\mu dt + \sigma dB $$，在哪裡 $ \mu $ 是證券價格的恆定漂移（預期收益） $ S_t $ ， 儘管 $ \sigma $ 是恆定的波動率，並且 $ dW_t $ 是具有零均值和單位速率的標準維納過程，一些書籍將維納過程寫為 $ dB_t $ .
簡單的說， $ dB_t $ 捕捉隨機過程的隨機運動。