平價歐式看漲期權相對於波動性的 delta 是多少？
問題：平價歐式看漲期權相對於波動性的 delta 是多少？
注意 $$ \frac{\partial\Delta}{\partial\sigma} = N’(d_1) \frac{\partial d_1}{\partial\sigma} = N’(d_1) \frac{- d_2}{\sigma} = \frac{-N’(d_1)d_2}{\sigma} $$ 在哪裡 $ N(\cdot) $ 是標準正態分佈的 CDF。我無法從這個等式中推斷出任何東西。
這篇QFSE 文章指出，價內期權的較高波動性將具有較低的 delta，而價外期權的較高波動性將具有較高的 delta。
根據這個網站，似乎更高的波動性會導致 $ \Delta = 0.5. $ 但我無法證明這一點。
根據您的計算，您可以觀察到 $ N’ $ term 始終為正，介於 0 和 0.4 之間。作為 $ \sigma $ 總是積極的，你可以專注於 $ -d_2 $ 學期。什麼時候 $ d_2 > 0 $ ，即call是ITM，delta對波動有負敏感性；反之，OTM 呼叫。這與你的說法一致。
在下文中，我假設 BS73 型號，並且我假設“ATM”是指
$$ S = Xe^{-r\tau} $$ 歐式看漲期權的定價公式變為 $$ \tag{1} O\propto N\left(+\frac{1}{2}\sigma\sqrt{\tau}\right)-N\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{\tau}\right) $$ 乘以一些與我們的目的無關的比例因子。清楚地， $$ Vega\equiv\frac{\partial O}{\partial \sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{\tau} \cdot{} n\left(\frac{1}{2}\sigma\sqrt{\tau}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{\tau} \cdot{} n\left(-\frac{1}{2}\sigma\sqrt{\tau}\right) $$ 帶領我們 $$ \tag{2} \frac{\partial O}{\partial \sigma}=\sqrt{\tau}\frac{e^{-\frac{1}{2}\left(0.5\sigma\sqrt{\tau}\right)^2}}{\sqrt{2\pi}} $$ 因此：
- 對於較長期限的債券，Vega 大於較小期限的債券
- 出於所有實際目的（即 $ IV<75% $ , $ \tau<1yr $ ，您可以將 ATM Vega 近似為 $$ \tag{3*} Vega \approx \sqrt{\frac{\tau}{2\pi}} $$