SABR 波動率模型中 alpha、beta、rho 的重要性是什麼？
我剛剛讀到 SABR 模型是一種隨機波動率模型，它試圖捕捉衍生品市場中的波動率微笑。名稱代表“stochastic alpha, beta, rho”，指的是模型的參數
任何人都可以幫助我了解 alpha、beta、rho 在 SABR 波動率模型中的重要性嗎？
我們創建 SABR 模型是因為我們意識到 (a) 期權價值在波動性中是非線性的，並且 (b) 波動性是隨機的。這意味著，如果一個人的期權（或期權組合）在波動率維度上具有正的 gamma，平均而言，我們會從波動率的波動中獲利，而我們會在 vol-gamma 為負時虧損。公平地說，這些收益或損失應該在日常套利中得到補償……這只是波動性維度的布萊克斯科爾斯。我們創建了這個模型，這樣我們就不會因為波動性的波動而洩露資金。事實證明，平價期權的波動性幾乎是線性的，因此 ATM 期權的 vol-gamma 很小，而遠離貨幣的期權的 vol-gamma 水平要高得多…… 所以 SABR 價格修正遠離貨幣要強得多，導致波動微笑。拍
讓我們將其重新標記為 SABR 是什麼 (TF)？
Alpha、Beta 和 Rho 是模型的重點。所以解釋它們就是解釋模型。
兩個過程的模型
與將波動率建模為常數（Vasicek、Hull-White 等）的早期模型不同，SABR 假設事物的價格是隨機的，其波動率也是隨機的。也就是說，波動性也將遵循一些隨機路徑。
因此，我們有兩個明顯相關的過程；價格，可以說是遠期匯率（遵循維基百科符號）：
$$ dF_t = \sigma_t F_t^\beta dW_t $$
這只是意味著價格的變化與提高到權力的價格本身成正比 $ \beta $ , 和維納過程 $ W_t $ ，由現在隨時間變化的波動率縮放 $ \sigma_t $ .
我們也有一個波動的過程 $ \sigma_t $ :
$$ d\sigma_t = \alpha \sigma_t dZ_t $$
同樣，波動率的變化與波動率本身成正比（因此行為是尺度不變的）和第二維納過程 $ Z_t $ , 這次全部按比例縮放 $ \alpha $ .
$ \alpha $ 然後是波動率的（恆定）波動率。我的意思是，我們也可以將其建模為隨機的，但這似乎是一項艱鉅的工作。
那麼在哪裡 $ \rho $ ?
$ \alpha $ 是volvol， $ \beta $ 是價格關係中的力量，我們失踪了 $ \rho $ .
由於這兩個過程（價格及其波動性）非常相關，SABR 模型通過使它們與參數相關來連接驅動它們運動的兩個維納過程 $ \rho $ :
$$ dW_t dZ_t = \rho dt $$
所以兩個維納過程的變化與 $ \rho $ 及時。再次， $ \rho $ 是一個常數。
所以沒有一個 $ \alpha $ , $ \beta $ 或者 $ \rho $ 是隨機的；也許這個名字應該是隨機波動率，Alpha Beta Rho。但 SVABR 的吸引力要小得多。
當沒有人報價時，我將如何使用 SABR 定價 $ \alpha/ \beta/ \rho $ ?
是的。雖然市場確實引用了波動率，但它沒有引用這些參數，因此很難在 Excel 中編織模型並佩戴它。
到目前為止，我們的方程模擬了給定參數的動力學，所以為了得到參數，我們必須從本質上解決給定一些其他東西的參數，比如對這些參數敏感的期權的市場價格。
校準一組參數值以適應市場報價需要付出很多努力，例如這篇博文。
所有模型都是有限的
沒有模型能夠神奇地捕捉到所有可用資訊，而且沒有任何意義；模型的力量在於得出比您開始的資訊更簡單的事實。使用 SABR，該模型可以更好地重現利率演變的動態，但請注意，只有少量固定數量的參數。因此它無法完美地校準到具有數十或數百個輸入的市場。