如果現實世界測量，解釋是什麼磷磷mathbb P等於鞅測度問問mathbb Q
出於興趣，當衡量一個市場的真實世界時，有什麼值得注意的地方嗎？ $ \mathbb P $ 實際上也是它的鞅測度。換句話說，現實世界的衡量標準 $ \mathbb P $ 等於鞅測度 $ \mathbb Q $ . 特別是市場完整的情況會很有趣，因為我們將因此獲得真實世界的度量是唯一的鞅度量（假設無套利）。
漂移下 $ \mathbb{Q} $ 和 $ \mathbb{P} $
已經有一些很好的答案。為了清楚起見，讓我重複一遍：在風險中性措施下 $ \mathbb{Q} $ ，所有資產的漂移必須等於計價器的升值率，即通常這是無風險利率 $ r $ 的貨幣市場。
原因是“無套利”論點：
- 假設有一項資產需要花費 $ S_{t_0} $ 今天的錢
- 你可以藉 $ S_{t_0} $ 今天用錢買一個單位的資產
- 您可以在未來某個日期出售該資產 $ t_1 $ 價格 $ S_{t_1} $ （這個價格暫時未知 $ t_0 $ )
- 在 $ t_1 $ 您需要按計價利率歸還借來的錢，即您需要歸還 $ S_{t_0}e^{r(t_1-t_0)} $
假設有人想購買資產的遠期合約 $ S $ 有時 $ t_0 $ 到期的時間 $ t_1 $ . 遠期合約的價格應該是多少？它一定要是 $ S_{t_0}e^{r(t_1-t_0)} $ ，否則會有套利。
如果我們對資產的價格過程進行建模 $ S(t) $ 通過一些隨機微分方程，該方程將具有隨機部分和漂移部分。通常我們選擇隨機部分作為擴散類型 $ W_t $ ，期望為零。所以漂移決定了資產的預期未來價值 $ S_t $ . 這就是為什麼測量下的漂移 $ \mathbb{Q} $ 必須等於 $ e^{rt} $ （如果我們假設連續複利），否則資產的預期價值 $ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_{t_1}] $ 不等於 $ S_{t_0}e^{r(t_1-t_0)} $ 遠期合約將被錯誤定價 $ \mathbb{Q} $ .
總而言之，風險中性度量 $ \mathbb{Q} $ 是一種數學工具，僅用於無套利條件下的資產定價：當我們在風險中性度量下進行預期時 $ \mathbb{Q} $ 資產價格的未來分佈，預期 $ \mathbb{Q} $ 並非旨在反映未來的“平均”價值或“市場平均預期的價值”；相反，預期只是給出了無套利價格，在“結果的可能性”意義上沒有機率意義。
如何 $ \mathbb{P} $ 在實踐中工作
現實世界的衡量標準 $ \mathbb{P} $ 旨在以市場參與者實際相信的方式反映資產價格的未來分佈（即相信“結果的可能性”意義上的）。很難想出一個獨特的衡量標準 $ \mathbb{P} $ 即使對於一種資產，因為每個市場參與者都會對未來的結果有自己的貝氏觀點。
但這裡有一個實際的例子 $ \mathbb{P} $ ：如果我們查看美國公司債券的歷史違約率，我們會發現這些違約率低於這些債券的平均收益率溢價（即收益率溢價高於美國國債的“無風險”利率）：這說明我們認為，投資者願意購買這些公司債券的價格使得這些債券的收益率（即回報率）（在很長一段時間內）不僅高於超安全的美國國債，而且還足夠高，以至於即使（有時）一些公司債券發行人違約，投資者也能獲得回報。這告訴我們，在現實世界的測量下 $ \mathbb{P} $ , 整個市場能夠判斷這些公司債券的實際未來預期盈虧平衡回報，並以實際實現的回報高於盈虧平衡的方式對它們進行定價（即 $ \mathbb{P} $ 高於 $ e^{rt+dt} $ ， 在哪裡 $ d $ 代表年度預設頻率）。
範例 $ \mathbb{P}=\mathbb{Q} $
所以總而言之，如果 $ \mathbb{P} $ = $ \mathbb{Q} $ ，那麼我們選擇對風險資產進行建模的隨機過程的漂移在兩種度量下都是相同的，這意味著：
(i) 風險資產的投資者不要求高於無風險資產的風險溢價（這完全不現實：即投資者為什麼要以與美國國債或德國國債相同的收益率購買垃圾公司債券？或者為什麼投資者要購買沒有收入但承諾未來（隨機）收入的風險成長股，只期望獲得與持有安全的美國國債或德國國債相同的回報？）
(ii) 這也意味著有風險的衍生品做市商樂於以與無風險資產相同的風險溢價出售 CDS 或期權等衍生品：同樣，這完全不現實，因為CDS 發行人是真實的，他們願意編寫 CDS 只是因為他們因承擔此風險而獲得了補償；即他們可以在投資一些無風險資產的同時獲得比坐在家裡更高的回報。
(iii) 另一種解釋 $ \mathbb{Q}=\mathbb{P} $ 將是所有現實世界的風險都會消失，所有資產都將是無風險的：在一些虛構的、非隨機的宇宙中可能會出現這種情況（與我們生活的宇宙不同）