OU 程序在下障礙 L 之前到達上障礙 U 的機率是多少？

算術OU過程的機率是多少 $ dx_t= \theta(\mu-x_t)dt+\sigma dW_t $ 擊中障礙 $ U $ 在撞到障礙物之前 $ L $ 什麼時候 $ L<x_0<U $ ?

假設 $ \theta>0 $ （拿 $ \tilde{X}=\mu-X $ 如果不是這樣）

讓我們表示 $ \text{erfi}(x) $ 虛誤差函式讓我們表示 $ \tau_L $ , 分別 $ \tau_U $ 擊球時間 $ L $ 分別 $ U $ 在哪裡 $ L<U $

1. 使用伊藤引理，證明：

$$ Y_t = \text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(X_t-\mu\right)\right) \text{ is a martingale} $$ 2) 使用最優停止定理，證明：

$$ \mathbb{P}(\tau_L\leq \tau_U) = \frac{\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(x_0-\mu\right)\right)-\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(U-\mu\right)\right)}{\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(L-\mu\right)\right)-\text{erfi}\left(\sqrt{\frac{\theta}{\sigma^2}}\left(U-\mu\right)\right)} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/28084