當我們改變定價度量時，為什麼擴散項保持不變？
考慮一些伊藤程序 $ dS(t)=\mu(t)dt+\sigma(t)dW^{\mathbb P}_{t} $ 根據措施 $ \mathbb P $ ， 在哪裡 $ W^{\mathbb P} $ 是一個 $ \mathbb P $ -布朗運動
在很多利率例子中，我看到我們試圖找到一種衡量標準 $ S(t) $ 是無漂移的，即 $ dS(t)= \sigma(t) dW_{t}^{\mathbb Q} $ ， 在哪裡 $ W^{\mathbb Q} $ 是一個 $ \mathbb Q $ 布朗運動。
我的問題很簡單：為什麼 $ \sigma(t) $ 測量變化下的術語保持不變？措施是否與事實有關 $ \mathbb Q $ 和 $ \mathbb P $ 是等價的嗎？
從我關於 VIX 措施的答案中摘錄（關於我正在使用的符號和約定的更多細節可以在該答案的前面部分中找到）：
關於更改度量
（本部分基於Dylan Possamaï 目前針對數學金融課程的非公開講義。如果講義已發布，我將使用精確的參考文獻對其進行更新。現在，我將插入
$$ RefN $$需要精確參考的地方。） TODO：為非零利率更新此部分。
為簡單起見，我假設利率為零（實際上並不難納入恆定利率 $ r $ .) 我們只處理一種證券，它是形式的伊藤過程$$ S_t=S_0+\int_0^tb_s,\mathrm ds+\int_0^t\mathfrak S_s,\mathrm dW_s. $$
如果沒有套利
$$ RefN $$，那麼總是存在一個 $ \mathbb F $ - 可預測的隨機過程 $ \lambda $ 這樣 $$ \mathfrak S_s(\omega)\lambda_s(\omega)=b_s(\omega) $$
為了 $ \mathrm dt\otimes\mathsf P $ -幾乎所有的 $ (s,\omega)\in[0,T]\times\Omega $ .
我們將假設
$$ Z_t\overset{\text{Def.}}=\exp\left(-\int_0^t\lambda_s,\mathrm dW_s-\frac12\int_0^t\lambda_s^2,\mathrm ds\right), \quad t\in[0,T] $$
是明確定義的，並且 $ (\mathbb F,\mathsf P) $ -鞅。事實上，如果 $ Z_t $ 是明確定義的，並且 $ (\mathbb F,\mathsf P) $ -馬丁格爾，那麼市場上沒有套利（直到時間 $ T $ ).
在這種情況下，我們可以證明測度 $ \mathsf Q $ 由 $ \frac{\mathrm d\mathsf Q}{\mathrm d\mathsf P}=Z_T $ 是金融市場在時間範圍內的等價（本地）鞅測度 $ T $ :
由吉爾薩諾夫定理
$$ RefN $$, 隨機過程 $ (W^{\mathsf Q}t){t\in[0,T]} $ 由 $$ W_t^{\mathsf Q}=W_t+\int_0^t\lambda_s,\mathrm ds $$
是一個 $ (\mathbb F,\mathsf Q) $ -布朗運動（直到時間 $ T $ ).
因此，對於任何逐步可測量的隨機過程 $ \mathfrak S=(\mathfrak S)_{s\in[0,T]} $ 和 $ \mathsf E^{\mathsf P}\left(\int_0^T\mathfrak S_s^2,\mathrm ds\right)<\infty $ 和 $ t\in[0,T] $ ， 我們有
$$ \int_0^t \mathfrak S_s,\mathrm dW_s=\int_0^t \mathfrak S_s,\mathrm d\left(W_s^{\mathsf Q}-\int_0^s\lambda_\tau,\mathrm d\tau\right)=\int_0^t\mathfrak S_s,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}-\int_0^t\mathfrak S_s\lambda_s,\mathrm ds, $$
其中隨機積分的結合性
$$ RefN $$用於最後一個等式。 因此，如果在價格過程中 $ (S_t)_{t\in [0,T]} $ 是一個伊藤過程
$$ S_t = S_0+\int_0^tb_s,\mathrm ds+\int_0^t\mathfrak S_s,\mathrm dW_s, $$
然後
$$ S_t=S_0+\int_0^t\mathfrak S_s,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}-\int_0^t\mathfrak S_s\lambda_s,\mathrm ds+\int_0^tb_s,\mathrm ds=S_0+\int_0^t\mathfrak S_s,\mathrm dW_s^{\mathsf Q}. $$
此外，通過假設的規律性 $ \mathfrak S_s $ , 隨機積分 $ \int_0^t\mathfrak S_s,\mathrm dW_s^{\mathsf Q} $ 是一個 $ (\mathbb F,\mathsf Q) $ -鞅
$$ RefN $$ $$ see also Footnote 6 in my VIX answer $$. 這表明了兩件事：
- $ \mathsf Q $ 是市場的等價鞅測度，僅包含有價證券的過程 $ S $ .
- 波動率項 $ S_t $ 當我們離開時保持不變 $ \mathsf P $ 至 $ \mathsf Q $ . 然而，漂移消失了，所以 $ S $ 現在是鞅。