為什麼 Variance-Gamma 過程不能使短期期權的波動率偏斜變平？

從我不專業的角度來看，變異數伽瑪 (VG) 過程似乎幾乎完美地模擬了股權分佈。

對於長期期權，幾乎沒有波動性、偏度或峰度參數偏度。

對於短期期權，這是真的，因為作者聲稱 VG 模型沒有提供比 Black-Scholes-Merton 更高的解析度，因為偏度和峰度參數趨於 1，並且波動率偏斜再次出現。

這種現象的數學解釋是什麼？

VG 屬於變異數-均值混合模型家族。給定一個地平線 $ T $ 對數回報的分佈 $ f $ 是高斯的混合 $ f_G $ 具有隨機均值和變異數。隨機化密度為 $ g $ 它的均值和變異數隨著 $ T $ . 對於 VG 過程，這個隨機因子是 Gamma 分佈的。

更具體地說，用 $ f_G(x;\mu,\sigma^2) $ 高斯密度，並且與 $ g(s;\theta,T) $ 有正向支持的混合密度。然後對數返回密度由下式給出

$$ f(x;\mu,\sigma,\theta,T) = \int_0^\infty f_G(x;\mu s,\sigma^2 s)\ g(s;\theta,T)\ ds $$ 因此，期權價格可以寫成 Black-Scholes 價格的加權平均值。 更高的時刻（見 p85）的形式是

$$ \text{skewness}=c_1/\sqrt{T}\text{, and kurtosis}=3+c_2/T $$ 因此作為 $ T\rightarrow 0 $ 他們都去無窮大，而作為 $ T\rightarrow\infty $ 分佈變為高斯分佈。 較小的較高時刻的存在 $ T $ 表現為短期期權的傾斜。但是，這種偏差的明顯程度取決於您在 x 軸上的情況，即行使價、隨時間標準化的貨幣性或 Delta。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/14267