為什麼將數字收益表示為看漲期權價差
使用 Hull White 模型為數字 caplet 定價，支付：
$ 1 $ 如果 $ R>K $ , $ 0 $ 否則。
你為什麼將收益表示為看漲期權，即
$$ \text{Payoff} = \frac{(R - (K+\epsilon))^+-(R - (K-\epsilon))^+}{2\epsilon} $$
而不是
$$ \text{Payoff} = \mathbb{1}_{R>K}? $$
有什麼好處？
一個重要的實際原因是出於對沖目的。
考慮期權非常接近到期和利率的情況 $ R $ 圍繞罷工波動 $ K $ ，使得期權在價外和價內交替。與標準看漲期權相比，收益是連續的 $ R $ 隨著從價外到價內的“平穩”過渡，數字電話的收益從 $ 0 $ 至 $ 1 $ 當期權變得物有所值時。這使得 delta 和 gamma 等對沖希臘人不穩定，並且如果期權的對沖者想要進行適當的對沖，他可能會面臨巨大的風險和/或成本。一般來說，這種風險被稱為pin risk。
讓 $ D(R)=1_{R>K} $ 成為數字通話的回報。另一方面，考慮以下跟注價差，它與您的略有不同（它使用後向差異而不是中心差異）： $$ S(R)=\frac{(R-(K-\varepsilon))^+-(R-K)^+}{\varepsilon} $$ 那麼任何的回報 $ R>K $ 是： $$ S(R)=\frac{(R-(K-\varepsilon))-(R-K)}{\varepsilon}=1=D(R) $$ 然而，對於 $ K-\varepsilon<R\leq K $ : $$ S(R)=\frac{R-(K-\varepsilon)}{\varepsilon}>0=D(R) $$ 而對於 $ R\leq K-\varepsilon $ 我們有 $ D(R)=S(R)=0 $ . 因此，這種看漲期權的收益至少與數字看漲期權的收益一樣大。優點是它的希臘語會更流暢，因此更容易管理 $ - $ 特別是您可以在市場上僅購買/出售流動性很強的普通看漲期權。顯然，價格 $ S $ 將高於 $ D $ .
因此，投資銀行可能會報出數字電話的價格 $ D $ 基於其過度套期保值的成本 $ S $ 以便更好地管理其風險。它會傾向於設置參數 $ \varepsilon $ 基於波動性 $ R $ ，即波動性越大 $ R $ , 越寬 $ \varepsilon $ 控制匯率的任何急劇波動，這可能使其面臨風險。
至於您原始文章中的表達，使用中心差異，我將指定 $ S^\prime $ ，它可能被更激進的套期保值者使用。實際上，您可以輕鬆檢查 $ S^\prime $ 低於或等於 $ S $ 因此它的價格應該更小，從而更具競爭力。它仍然允許基於購買/出售普通看漲期權的對沖策略，並確保希臘人平穩。