為什麼在沒有套利條件的情況下風險中性機率應該嚴格大於零？
一位同事最近告訴我，風險中性機率應該始終大於零才能沒有套利條件。直覺地說，我們知道機率不能 < 0，但是我們如何證明我們也需要它們 > 0？
我假設這是否正確，它也適用於三項式和 n 項式樹。有人可以澄清一下嗎？
在一種情況下，事件的風險中性機率可以為零：如果現實世界的機率為零。如果不是，那麼如果契約被修改為在該事件中不還清或少還清，那麼在該事件中得到回報的任何契約都必須降低價格。否則，一個人可以買一個然後賣另一個……這是“免費彩票”意義上的套利，你得到一個非零機率的免費回報。這轉化為積極事件的風險中性機率。
對於具有向上因子的二項式模型 $ u $ , 下降因子 $ d $ , 和利率 $ r $ 即如果當時有安全性 $ t = n $ 值得 $ S_n $ ，然後在時間 $ t = n + 1 $ , $ S_{n+1} = uS_n $ 有機率 $ p $ 和 $ S_{n+1} = dS_n $ 有機率 $ q $ ; 同樣，如果 $ X $ 留在銀行 $ t = n $ ，然後在 $ t = n + 1 $ 該帳戶將包含 $ (1 + r)X $ . 回想一下二項式模型的風險中性機率： $$ \tilde{p} = \frac{(1 + r) - d}{u - d}, \ \tilde{q} = \frac{u - (1 + r)}{u - d} $$ 還記得這個模型的無套利條件： $$ d < 1 + r < u $$ 這種情況意味著我們的風險中性機率 $ \tilde{p} > 0 $ 和 $ \tilde{q} > 0 $ . 為了回答你的第一個問題，我們證明風險中性機率必須是 $ > 0 $ 通過表明如果不是這種情況，套利是可能的。假設 $ 1 + r < d < u $ 我們在時間 $ t = n $ . 這意味著 $ \tilde{p} < 0 $ . 我們的策略是：
- 借 $ S_n $ 從銀行
- 購買一股股票
當時 $ t = n + 1 $ 我們欠 $ (1+r)S_n $ 去銀行。我們的股票頭寸值得 $ uS_n > (1 + r)S_n $ 或者 $ dS_n > (1 + r)S_n $ . 然後我們出售股票並償還我們欠銀行的款項，當我們投資時留下非零的終端資本 $ 0 $ . 這是一種套利策略。在以下情況下可以使用類似的策略 $ d < u < 1 + r $ ，即做空股票並投資銀行。