為什麼掉期的估值在向後和遠期利率上是相同的，而不是 caplet
考慮時間離散化 $ 0 = T_{0} < T_{1} <… < S < T < T_{n} $ ，以及相應的遠期匯率和後退匯率：
$ \text{Forward rate: }L(S,T;t) $
$ \text{Backward Rate: }I(S,T):=\frac{1}{T-S}(\frac{R(T)}{R(S)}-1) $
在哪裡$$ R({T_{0} ,…,T_{n}};t):=P(T_{m(t)+1};t)\prod\limits_{i=0}^{m(t)}(1+L_{i}(T_{i},T_{i+1};T_{i})(T_{i+1}-T_{i})),; ; ;\ m(t):=\max{{i\in {0,…,n}}:T_{i}\leq t} $$
現在為什麼兩者的蒙地卡羅估值
$ \textbf{Caplet on Forward Rate} $ 和 $ \textbf{Caplet on Backward Rate} $ 不相等
但兩者的蒙地卡羅估值
$ \textbf{Swap on Forward Rate} $ 和 $ \textbf{Swap on Backward Rate} $
（幾乎）相等。
為什麼會這樣？
當兩者之間的距離 $ T_i $ 那麼小 $$ \begin{align}\tag{1} \frac{R(T)}{R(S)}=\prod_{i=m(S)}^{m(T)}1+L(T_i,T_{i+1};T_i)\Delta_i\approx\exp\left(\int_S^Tr(u),du\right),. \end{align} $$ 另一方面， $$ \tag{2} 1+L(S,T,S)\Delta=\frac{1}{P(S,T)} $$ 在哪裡 $ P(S,T) $ 是有條件的零債券價格 $$ P(S,T)=\mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_S^Tr(u),du\Big) \Big|{\cal F}_S\Big],. $$ 由此可見 $$ \tag{3} \mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_0^Tr(u),du\Big)\frac{R(T)}{R(S)}\Big]=\mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_0^Sr(u),du\Big)\Big]=P(0,S),. $$ 利用這個事實 $ P(S,T) $ 是 $ {\cal F}_S $ - 可測量的（即在時間已知的 $ S $ ) 條件期望的塔屬性意味著 $$ \begin{align} &\textstyle\mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_0^Tr(u),du\Big)\frac{1}{P(S,T)}\Big]\[3mm] &=\textstyle\mathbb E\Big[\mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_0^Tr(u),du\Big)\frac{1}{P(S,T)} \Big|{\cal F}_S\Big]\Big]\[3mm] &\textstyle=\mathbb E\Big[ \frac{\exp(-\int_0^Sr(u),du)}{P(S,T)}\underbrace{\mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_S^Tr(u),du\Big)\Big|{\cal F}S\Big]}{P(S,T)}\Big]\[3mm] &\textstyle=\mathbb E\Big[\exp\Big(-\int_0^Sr(u),du\Big)\Big]=P(0,S),.\tag{4} \end{align} $$ $$ \boxed{\text{The fact that (3) and (4) are equal shows that the swap PVs must agree exactly.}} $$ 如果相反，您可以選擇 $ L(S,T,S) $ 和 $ I(S,T) $ 從 (1) 可以看出 $ I(S,T) $ 波動較大，因為它需要時間直到 $ T $ 直到知道這個隔夜利率。相比之下，libor $ L(S,T,S) $ 在時間上是已知的 $ S<T $ 因此具有較低的波動性。