零息票問題演算
我遇到一個問題：我們是否有以下相等性： $ B(0,T_{i})e^{\int_{0}^{t}r_{s}ds}=B(t,T_{i}) $ 如果是的話，為什麼因為我堅持這個……我嘗試使用它： $ B(t,T_{i}) = B(0,T_{i})e^{\int_{0}^{t}r_{s}ds-0.5\int_{0}^{t}vol^{2}ds+\int_{0}^{t}voldW_{s}} $ 謝謝 ！
問題修改：
實際上我的問題如下： t 的遠期價格由以下定義： $ F_{t,T}=Price(t)/B(t,T) $ . 讓 $ Price(t)=E_{Q}[e^{-\int_{t}^{T}r_{s}ds}Payoff|F_{t}] $ . 通過使用定義的前向測量： $ dQ^{T}=(e^{-\int_{0}^{T}r_{s}ds}/B(0,T) )dQ $ 我們有： $ Price(t)=E_{Q^{T}}[e^{-\int_{t}^{T}r_{s}ds}Payoff*B(0,T)/e^{-\int_{0}^{T}r_{s}ds}|F_{t}] $ . 我需要證明最後一個等式是 $ E_{Q^{T}}[Payoff|F_{t}]*B(t,T) $ 以便 $ Price(t)/B(t,T)=E_{QT}[Payoff|F_{t}] $ 這是我知道的“公式”。
如果 B(t,T(i)) 是不支付股息的工具的遠期價格，則第一個等式看起來是正確的。如果 B(t,T(i)) 是由對數正態過程投影的隨機變數，則第二個方程看起來是正確的
讓 $ r_t $ 成為利率。然後
$$ \begin{align*} B(t, T_i) &= E\Big[e^{\big(-\int_t^{T_i} r_s ds\big)} \mid \mathscr{F}_t\Big]\ &= e^{\int_0^t r_s ds} E\Big[e^{\big(-\int_0^{T_i} r_s ds\big)} \mid \mathscr{F}t\Big]. \end{align*} $$ 請注意，對於 $ t>0 $ ， 除非 $ r_t $ 是確定性的， $$ \begin{align*} E\Big[e^{\big(-\int_0^{T_i} r_s ds\big)} \mid \mathscr{F}t\Big] &\ne E\Big[e^{\big(-\int_0^{T_i} r_s ds\big)}\Big]\ &= B(0, T_i), \end{align*} $$ 作為$$ E\Big[e^{\big(-\int_0^{T_i} r_s ds\big)} \mid \mathscr{F}t\Big] $$是一個 $ \mathscr{F}t $ 可測量的隨機變數，而$$ E\Big[e^{\big(-\int_0^{T_i} r_s ds\big)}\Big] $$是一個常數。 總之，身份 $ B(0,T{i})e^{\int{0}^{t}r{s}ds}=B(t,T{i}) $ 是不正確的，除非利率是確定性的。
根據修訂添加。
考慮回報 $ Payoff_T $ 有時 $ T $ . 那麼當時的價值 $ t $ ， 在哪裡 $ 0 \le t \le T $ , 在風險中性機率測度下 $ Q $ ， 是（誰）給的
$$ \begin{align*} Price(t) = E_Q\left(e^{-\int_t^T r_s ds} Payoff_T \mid \mathscr{F}t\right). \end{align*} $$ 讓 $ Q_T $ 成為 $ T $ -前向機率測度。然後， $$ \begin{align*} \eta_t &\equiv \frac{dQ}{dQ_T}\big|{\mathscr{F}_t}\ &=\frac{e^{\int_0^t r_s ds} B(0, T)}{B(t, T)}. \end{align*} $$ 使用抽象的貝氏公式， $$ \begin{align*} E_Q\left(e^{-\int_t^T r_s ds} Payoff_T \mid \mathscr{F}t\right) &= E{Q_T}\left(\frac{\eta_T}{\eta_t}e^{-\int_t^T r_s ds} Payoff_T \mid \mathscr{F}t\right)\ &=B(t, T) E{Q_T}\left( Payoff_T \mid \mathscr{F}t\right). \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} E{Q_T}\left( Payoff_T \mid \mathscr{F}_t\right) = \frac{Price(t)}{B(t, T)}. \end{align*} $$