零波動期權定價
假設資產根據 SDE 隨時間演化
$$ dS = \mu S dt + \sigma S dW, $$ 在哪裡 $ \mu>0,\sigma>0 $ 是固定常數和 $ dW $ 是維納過程。要為該標的物定價期權，您需要使用 delta 對沖或風險中性定價來獲得 BS 方程並最終獲得期權價值的整個過程 $ V(S,t) $ . 現在，我正在考慮如果波動率為零會發生什麼，即 $ \sigma = 0 $ . 我的問題是：在這種情況下，您將如何為期權定價？
現在動態是完全確定的，因為 $ dS = \mu S dt $ ，我們可以找到作為時間函式的股票
$$ S(t) = S_0e^{\mu t} $$
所以給定一些起始價格 $ S_0 $ , 到期的股票 $ T $ 永遠是*_* $ S(T) = S_0e^{\mu T} $ . 要為期權定價，您必須考慮套利機會。讓我們先從呼叫開始：從正常套利參數中，您已經知道 $ S(t)-Ee^{-r(T-t)}\leq C(t) \leq S(t) $ . 這來自於創建一個做多股票和做空看漲期權的投資組合，並著眼於 $ t = T $ . 將此應用於我們奇怪的確定性案例給出
$$ S_0e^{\mu t}-Ee^{-r(T-t)} \leq C(t) \leq S_0e^{\mu t} $$
我知道呼叫是如何有界的，但我想要一個精確的公式。如果你考慮一下，因為我們知道 $ S(T) = S_0e^{\mu T} $ ，然後任何具有執行價格的看漲期權 $ E \geq S_0e^{\mu T} $ 到期時將一文不值，因為 $ C(T) = \max(S(T)-E,0) $ . 因此，這給出
$$ C(t) \equiv 0,\ \forall E \geq S_0e^{\mu T} $$
為了 $ E < S_0e^{\mu t} $ ，該選項肯定是非零的，但我很難找到它會是什麼。我知道您必須以某種方式考慮無風險利率，但是由於您建構的任何投資組合都是無風險的，所以不會有無限套利嗎？我的意思是：假設您購買了帶有罷工的期權 $ E < S_0e^{\mu T} $ . 那麼，您在到期時的利潤將永遠是
$$ \text{Profit}_T = S_0e^{\mu T} - E $$
因此，該值至少應該是這麼多，即 $ C(t) \geq S_0e^{\mu T} - E $ . 時間折扣給了 $ C(t) = e^{-r(T-t)}(S_0e^{\mu T}-E) $ . 然而，這似乎不對。任何想法將不勝感激。
唯一缺少的一點是，根據 NA，如果資產的波動性為零，則它是無風險的，因此必須以無風險利率增長： $ \mu \equiv r $ （否則，您購買收益最高的資產並出售收益最低的資產）。
在這種情況下，期權的估值很簡單：它是貼現收益 $ e^{-r\left(T - t\right)} \left[S_t e^{r\left(T - t\right)} - K \right]^+ = \left[S_t - Ke^{-r\left(T - t\right)} \right]^+ $ .
當“錢”被定義為 $ K = S_t e^{r\left(T - t\right)} $ , 遠期價格。