期貨完全是 Delta One 嗎？
未來的三角洲正是我所想的。這篇文章在這裡，另有說明。
然而，再次引用約翰赫爾的話：
$$ f = \text{Value of Future contract} = S_{t=0} - K \exp(-rT) $$ 在哪裡 $ S $ 它是現貨價格， $ S_{t=0} $ 是今天的現貨價格， $ r $ 是無風險利率和 $ T $ 是成熟的時間。
$$ \Delta = \frac{df}{dS} = \frac{dS}{dS} - \frac{d[K \exp(-rT)]}{dS} = 1 - 0 = 1.0 $$ 作為 $ K $ 是恆定的， $ T $ 是常數，無風險利率不依賴於 $ S $ . 所以我不明白為什麼未來合約的 Delta 不完全是 1.0（與 Riskprep.com 文章的論點相反）。
畢竟，期貨是在 Delta One 櫃檯上交易的。
遠期 delta 為 1（定義為遠期價值相對於標的物價格瞬時變化的變化，保持其他一切不變）。
然而，為了有意義地討論遠期和期貨定價的差異，應考慮遠期的遠期價格增量，它是 exp(r(Tt))。儘管兩者的增量與持有遠期的投資組合的價值相同vs 期貨合約會隨著時間而變化，原因如下：差異源於利率不是恆定的而是隨機的，遠期是場外交易產品，到期結算，而期貨每天結算。這種細微的差異會導致不同的現金流，因為存入您賬戶的資金或由於每日保證金結算而需要支付的資金可以投資/必須以現行利率借入。
例如，如果標的貼現率過程和標的資產價格過程正相關，那麼如果資產價格反之上漲，則利率將較低，並且每天存入您賬戶的盈餘必須以較低的利率進行投資。相反，當資產價格下跌時，您需要存入變動保證金並需要以更高的利率借款。因此，在本例中，期貨合約的定價必須低於遠期合約，以使期貨合約具有同等吸引力。
我認為遠期價格和遠期合約的價值存在混淆。遠期合約規定在未來某個時間交換資產 $ T $ . 按照慣例，該遠期合約的初始值為零（在時間 $ 0 $ ）。遠期合約，作為一種資產在未來以一定的美元金額進行的交換，在一定程度上具有 $ t \in [0, T] $ 一個值 $ f(t, T)=S_t-Ke^{-r(T-t)} $ . 該合約的 delta 顯然等於 1。
現在考慮“正確”價格的問題 $ K $ 在時間為零。按照慣例， $ f(0, T)=0 $ . 使用方程 $ S_t-Ke^{-r(T-t)} $ 並求解 K 在 $ t=0 $ 產量 $ K=S_0e^{rT} $ .
$ K $ 不依賴於時間：它固定在零時間。然而，當時 $ t $ 另一個遠期合約可能會在到期時啟動 $ T $ . 與上述相同的論點產生的價格 $ K $ 有時 $ t $ 的 $ S_t e^{r(T-t)} $ . 明確地表明這種依賴性 $ K $ 在 $ t $ 我現在讓 $ F(t, T) $ 表示的值 $ K $ 對於到期的遠期合約 $ T $ 在時間發起 $ t $ . 自從 $ F(t, T)=S_t e^{r(T-t)} $ 的“三角洲” $ F(t, T) $ 是 $ e^{r(T-t)} $ .
需要注意的是 $ F(t, T) $ 不是資產：畢竟，折現值 $ F(t, T) $ 顯然不是風險中性測度下的鞅。取遠期合約的delta更為自然，這是一種資產。