期貨的凸性調整
讓 $ B_t $ 成為現金賬戶計價單位。時間 t 的未來和遠期價格表示為：
$$ Fut = E_t^Q\left[S_T\right], $$ $$ Fwd = \frac{E_t^Q[S_T/B_T]}{E_t^Q[1/B_T]}. $$ 在哪裡
$$ \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dt + \sigma dW_s^Q(t), $$ $$ dr(t) = -Kr(t)dt+ \alpha dW_r^Q(t), $$ $$ <dW_sdW_r> = \rho dt. $$ 在哪裡 $ K $ 是短期利率的均值回歸 $ r $ .
如何計算凸性調整以用未來價格表示遠期價格？
我們假設，在機率測度下 $ Q $ ,
$$ \begin{align*} dS_t &= S_t\big(r_t dt + \sigma dW_s(t)\big),\ dr_t &= -k, r_t dt + \alpha dW_r(t),\tag{1} \end{align*} $$ 在哪裡 $ d\langle W_s(t), W_r(t)\rangle_t = \rho dt $ . 從 $ (1) $ ， 為了 $ s\ge t $ , $$ \begin{align*} r_s = e^{-k(s-t)}r_t + \alpha\int_t^s e^{-k(s-u)} dW_r(u). \end{align*} $$ 那麼，對於 $ T\ge t $ , $$ \begin{align*} \int_t^T r_s ds &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right)+\alpha \int_t^T!!!\int_t^s e^{-k(s-u)} dW_r(u) ds\ &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right)+\alpha \int_t^T!!!\int_u^T e^{-k(s-u)} ds dW_r(u) \ &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right)+\alpha \int_t^T\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-u)} \right) dW_r(u)\ &=r_t\beta(t, T)+\alpha \int_t^T \beta(u, T) dW_r(u), \end{align*} $$ 在哪裡$$ \beta(t, T)=\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right). $$ 所以， $$ \begin{align*} E^Q\left(\frac{1}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\right) &=\frac{1}{B_t}E^Q\left(e^{-\int_t^T r_s ds} \mid \mathcal{F}_t \right)\ &=\frac{1}{B_t} e^{-r_t\beta(t, T) + \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du}. \end{align*} $$ 而且， $$ \begin{align*} E^Q\left(S_T \mid \mathcal{F}_t\right) &= S_t E^Q\left(e^{\int_t^T r_s ds - \frac{\sigma^2}{2} (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s(u)} \right)\ &=S_t E^Q\left(e^{r_t\beta(t, T)+\alpha \int_t^T \beta(u, T) dW_r(u) - \frac{\sigma^2}{2} (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s(u)} \right)\ &=S_te^{r_t\beta(t, T)+ \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} C(t, T) &= \frac{Fut}{Fwd}\ &=\frac{E^Q\left(S_T \mid \mathcal{F}_t\right)}{E\left(\frac{S_T}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\right)/E^Q\left(\frac{1}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\right)}\ &=\frac{S_te^{r_t\beta(t, T)+ \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}}{\frac{S_t}{B_t} B_t e^{r_t\beta(t, T) - \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du}}\ &=e^{\alpha^2\int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}. \end{align*} $$ 不要忘記法線變數特徵函式中的 1/2。