Shreve 書中未來現金流的價值
在 Shreve 的書中，離散案例未來的現金流值為
$$ \dfrac{1}{D(t)}E\Big[\sum\limits_{j=k}^{n-1}D(t_{j+1})(\textrm{Fut}S(t{j+1},T)-\textrm{Fut}_S(t_j,T))\Big|\mathcal{F}(t)\Big] $$ 連續版本是 $$ \dfrac{1}{D(t)}E\Big[\int_t^T D(u)\textrm{d} \textrm{Fut}S(u,T) \Big|\mathcal{F}(t)\Big] $$ 但是你知道 Ito 積分選擇左端點，我們應該替換 $ D(t{j+1}) $ 經過 $ D(t_j) $ 在第一個方程中，Shreve 書中的版本實際上是右手端點，但作者一直認為是 Ito 積分。那麼我的誤解在哪裡呢？這裡 $ D(t) $ 是折現因子。
讓 $ \mathcal {V} =\mathcal {V}(t,T) $ 是函式的類
$$ f(t,\omega):[0,\infty)\times\Omega\to\mathbb{R} $$ 這樣
- $ (t,\omega)\to f(t,\omega) $ 是 $ \mathcal{B}\times\mathcal{F} $ 在哪裡 $ \mathcal{B} $ 表示 Borel 代數 $ [0,\infty) $ .
- $ f(t,\omega) $ 是 $ \mathcal{F}_t $ 適應。
- $ \mathbb{E}\left[\int_{t}^{T}f^2(s,\omega)ds\right]<\infty $
認為 $ f\in\mathcal V(t,T) $ 然後 $ t\to f(t,\omega) $ 是連續的。讓 $ I={u_i}_{i=0}^{n} $ 是一個分區序列 $ [t,T] $ ， 的確 $ t=u_0<u_1<\cdots<u_n=T $ .根據伊藤積分的定義，我們有
$$ \int\limits_t^T f(u,\omega)dW(u,\omega)=\lim_{\Delta u_j\to0}\sum_{j=0}^{n-1}f(u_j,\omega)(,W(u_{j+1},\omega)-W(u_{j},\omega),)\qquad,\quad\text{ in }, L^2(P). $$ 類似地，我們定義了Stratonovich 積分 $ f $ 經過
$$ \int\limits_t^T f(s,\omega)\circ dW(u,\omega)=\lim_{\Delta u_j\to0}\sum_{j=0}^{n-1}f(u_j^,\omega)(,W(u_{j+1},\omega)-W(u_{j},\omega),) $$ 在哪裡 $ u_j^=\frac12(u_j+u_{j+1}), $ 每當極限存在於 $ L^2(P) $ . 一般來說，這些積分是不同的。
我認為未來離散案例的現金流價值是
$$ \dfrac{1}{D(t)}\mathbb{E}\left[\sum\limits_{j=k}^{n-1}D(t_{j})(,\textrm{Fut}S(t{j+1},T)-\textrm{Fut}_S(t_j,T),)\Big|\mathcal{F}_t\right] $$ 因此連續版本是
$$ \dfrac{1}{D(t)}\mathbb{E}\Big[\int_t^T D(u)\textrm{d} \textrm{Fut}_S(u,T) \Big|\mathcal{F}(t)\Big] $$
我相信混亂是由於索引。 $ D(t_{j+1}) $ 是 $ \mathcal{F}(t_j) $ 可測量的，所以它在左側端點上是已知的。如果將公式 (6.2.2) 替換為 $ D(t_{j+1}) $ :
$$ D(t_{j+1}) = \frac{1}{(1+R(t_0))(1+R(t_1)+ \cdots + (1+R(t_j))} $$ 你會認出一個 Ito 積分：
$$ \dfrac{1}{D(t)}E\Big[\sum\limits_{j=k}^{n-1}\frac{1}{(1+R(t_0))+ \cdots + (1+R(t_j))}(\textrm{Fut}S(t{j+1},T)-\textrm{Fut}_S(t_j,T))\Big|\mathcal{F}(t)\Big] $$