為什麼需要 FRA/期貨凸性調整？
這就是我對凸度調整必須存在的原因的解釋：
期貨每天都有保證金，如果交易者收到期貨並且利率上升，那麼資金就會被支付到他們的保證金賬戶中，如果利率下降，那麼每天都會從他們的保證金賬戶中取出資金，所以我們有兩個結果來自一個位置：
- 已付頭寸：利率上升，因此資金被支付到保證金賬戶中，並且可以以更新、更高的利率再投資。利率下降，因此資金從保證金賬戶中取出，但可以以更新、更低的利率借回。
- 收到的頭寸：利率上升，所以資金從保證金賬戶中取出，並且可以以較低的利率借回資金。利率下降，因此資金被支付到保證金賬戶，並且可以以更高的利率再投資。
這就是凸性概念的來源嗎？每日保證金為使用期貨而不是相應的 FRA 創造了明顯的優勢這一事實？
因此，為了抵消這種通過 FRA 投資期貨的優勢，實施了凸度調整，使得（在幼稚的意義上）：
$$ FRA=Futures-Convexity. $$
如果這不正確或我沒有完全理解，請糾正我。
這已經發布了好幾次了，所以我會花時間在一個完整的回應上。
FRA / 期貨凸性與通過保證金結算和潛在的再投資在未來立即確認利潤/損失無關，而在 FRA 中則被推遲。
儘管相反似乎是許多從業者中非常普遍的信念（可能是由於 Hull:Options, Futures, Derivatives 中的措辭不當），但它是不正確的。
讓我用一些不同的直覺論據來描述這一點：
- FRA 和期貨具有相似的再投資模式。如果您擁有一個期貨並且它在第 1 天賺了10000 美元，您將獲得10000美元的保證金，您在 OIS 過夜投資並獲得一些利息，比如1 美元。在第 2 天，期貨價值10000 美元，您有1美元你的口袋。
如果您擁有 FRA 並賺取10000 美元，您將收到10000美元的抵押品。您在一夜之間投資並獲得1美元的OIS 利息，但您欠抵押品海報 1美元的利息。在第 2 天，FRA 現金流的貼現因子接近到期日 1 天，並減去 1 天 OIS 利息。FRA 的價值為10001美元，而您的口袋裡只有 0美元。 2. 想像一下，您的未來是一個固定的 CFD，並在與 FRA 相同的日期結算。但它是一種抵押差價合約。這將導致完全相同的凸度值，但它獨立於利潤/收益的即時保證金交換和任何再投資。 3. 假設未來每天都以相同的價格收盤，因此沒有進行任何利潤交換（但這是巧合）。那麼再投資論點將無法獲得任何收益，因為再投資永遠不會獲得任何收益。但是，如果日內波動率為零、低或高，並且投資組合持續進行 delta 對沖，即使在一天結束時仍保持在開始的位置，則存在重要差異。
FRA / 期貨凸性是基於風險的，其價值可以通過類似於複製期權組合的方式直覺地理解，以確定其價格。
這是什麼意思？首先考慮支付（購買）FRA 的結算公式：
$$ P = v N d \frac{r - R}{1+d r} $$
在哪裡 $ v $ 是 FRA 結算日的 (ois) 貼現因子， $ r $ 是浮動利率， $ R $ 固定利率和 $ d $ 天數分數。這裡的關鍵是術語 $ (1+dr)^{-1} $ ; 當利率上升時，您可以在頭寸上賺錢，但這個期限會更大幅度地折扣您的契約結算。事實上，結算是預先支付的，但隱含地假設從 FRA 結束時以結算的 FRA 利率折現，這是賦予產品不對稱性的術語。
那麼這個風險是如何關聯的呢？考慮一個您已經支付（購買）FRA 並通過購買期貨對沖它的投資組合。您的投資組合的價值如下：
$$ P = v N d\frac{r-R}{1+rd} - \tilde{N}d(F-r) $$
在哪裡 $ F $ 是您進行名義金額交易的等價期貨匯率， $ \tilde{N} $ 期貨對沖對沖。您的投資組合最初將滿足兩個屬性：
$$ P_{t=0} = 0, \quad \frac{\partial P}{\partial r}_{t=0} = 0 $$
因此，這意味著您最初交易特定數量的期貨以進行 delta 對沖：
$$ \tilde{N}|_0 = f(N, d, r, v)|_0 $$
但現在的問題是，隨著利率的變化，您的投資組合的風險會發生什麼變化？
您未來的風險始終保持不變：
$$ \frac{\partial P_{futures}}{\partial r} = \tilde{N} d $$
但是您的 FRA 的風險取決於現行利率， $ r $ :
$$ \frac{\partial P_{fra}}{\partial r} = \frac{vNd}{1+dr} \left (1-\frac{d(r-R)}{(1+dr)} \right ) $$
事實上，不僅如此，它實際上還取決於影響折扣因子的先前費率（和 OIS 費率） $ v $ ，而未來的風險始終保持不變。
您最終會遇到這樣一種情況，即當該投資組合的利率上升時，您需要購買更多 FRA 以保持對沖，但您以更高的價格購買。如果價格再次下跌，那麼您將其賣回以保持 delta 對沖成本。所以這是一個完全取決於波動性的過程。
相反，如果您賣出 FRA，那麼當利率下降時，您的頭寸太大，可以償還 FRA 以降低您的 delta，因為您以更優惠的利率執行此操作，您的持續 delta 對沖正在產生針對未來的套利利潤。
因此，相對於超賣的 FRA，期貨總是超賣。FRA 的利率自然低於期貨的利率，這種差異稱為凸性偏差。