債券的久期是凸函式嗎？
我知道一般來說，債券的資產淨值是一個凸函式。
但是，我不太確定在其持續時間內是否可以這樣說。
有這方面的參考嗎？謝謝
通用債券定價函式是
$$ PV = \sum_i^n c_iD(t_i)+D(t_n) $$
PV01的凸度
讓我們用它的第一個導數的負數來確定它的持續時間，讓我們設置 $ D(t_i)=e^{-rt_i} $
$$ D\equiv-\frac{\partial PV}{\partial r}=\sum_i^nt_ic_ie^{-rt_i}+t_ne^{-rt_n} $$
如果函式的二階導數（局部）為正，則函式（局部）是凸函式。久期的二階導數等於債券定價函式的三階導數（wrt $ r $ ):
$$ \frac{\partial ^2D}{\partial r^2}\equiv-\frac{\partial ^3 PV}{\partial r^3}=\sum_i^nt_i^3c_ie^{-rt_i}+t_n^3e^{-rt_n} $$
作為 $ D(r)\geq 0 \forall r $ ， 和 $ t_i\geq 0 $ 同樣，這個函式在整個域上都是嚴格的正數。無論使用的速率定義如何，該結果都成立，並且它嚴格適用於任何 $ c\geq0 $ .
持續時間的凸性
現在讓我們將持續時間確定為
$$ D\equiv -\frac{\frac{\partial PV}{\partial r}}{PV} $$
即現值的（負）一階導數。然後
$$ \frac{\partial ^2D}{\partial r^2}=\frac{\frac{\partial^3PV}{\partial r^3}}{PV}-3\frac{\frac{\partial PV}{\partial r}\frac{\partial^2 PV}{\partial r^2}}{PV^2}+2\frac{\left(\frac{\partial PV}{\partial r}\right)^3}{PV^3} $$
我們知道
$$ \begin{align} O(PV)&=1,\ O(D)=O\left(\frac{\partial PV}{\partial r}\right)&=T,\ O\left(\frac{\partial^2 PV}{\partial r^2}\right)&=T^2,\ O\left(\frac{\partial^3 PV}{\partial r^3}\right)&=T^3 \end{align} $$ 但是通過一些試驗和錯誤，我們發現對於正面優惠券 $ c $ ， 這 $ k $ 導數增長“慢”於 $ T^k $ . 目前，我找不到數學證明，但反複試驗表明：
$$ \frac{\partial ^2 D}{\partial r^2}\leq 0 $$ 對所有人有效 $ c\geq 0 $ , 所有費率 $ r $ 和任何 $ n\geq 1 $ .
因此，在這個定義下，持續時間是凹的。
回想一下，持續時間被定義為收到現金流的平均時間，權重是現金流的現值。因此，當利率上升非常高時，長期現金流的權重非常低，久期單調下降並漸近趨向於第一次息票的時間。當利率變為零時，持續時間要長得多。因此，將久期視為利率的函式，我們有一個在正利率區域內必須為正凸的函式。
在負利率區域，我認為它是負凸的，因為它以最後現金流的時間為界。