久期真的與債券的到期時間成反比嗎？
人們總是說，較長的債券對利率更敏感。直覺上，這是完全合理的，因為長期債券的現金流中有很大一部分受到更強的利率調整，因此它們的價值必須對利率更加敏感。
當我試圖從數量上證明這一點時，事情似乎變得更加複雜。假設有面值的債券 $ a $ 支付金額的優惠券 $ y $ 每年。如果利率是 $ r $ ，則債券的價值為。
$$ P=\frac{y}{r}[1-\frac{1}{(1+r)^{n}}]+\frac{a}{(1+r)^{n}} $$ 債券價格相對於利率的相對變化為
$$ \frac{1}{P}\frac{dP}{dr} $$ 在哪裡 $$ \frac{dP}{dr}=y\left{ 1-(1+r)^{-n}-nr^{-1}(1+r)^{-n-1}\right} -an(1+r)^{-n-1} $$ $$ =\frac{\frac{y}{r^{2}}(1+r-\frac{n}{r})-an}{(1+r)^{n+1}}-\frac{y}{r^{2}} $$ 所以， $$ \frac{1}{P}\frac{dP}{dr}=\frac{y(1+r-\frac{n}{r}-(1+r)^{n+1})-anr^{2}}{\left{ yr[(1+r)^{n}-1]+ar^{2}\right} (1+r)} $$ 假設長期債券確實對利率變化更敏感，那麼上面的方程應該總是為負的，它的值應該隨著 n 的增加而減小。但是從上面的等式來看，我遇到了麻煩。事實上，數值結果表明另一種方式：
上圖顯示了當利息增加 1% 時債券價格的百分比變化。該債券每年支付 6% 的息票。每條曲線代表一種受不同利率影響的債券。例如，中間的紫色曲線代表一張票面利率為 6%、利率為 9% 的債券價格的相對變化。縱軸是價格的相對變化，橫軸是債券的長度。
從圖表中我們可以看出，最初債券價格確實隨著長度的增加而下降得更快，但很快就達到了最大下降率，最終利率似乎回到了極限值。
這留下了2個問題：
- 關於“長期債券對利率更敏感”的說法，這是對大多數實際情況都正確的說法，還是在數學上總是正確的說法？
- 我們如何以代數方式推導出圖表中看到的結果來回答諸如最大下降率發生在哪里以及極限值是多少（如果存在的話）等問題？
假設許多債券具有三個常數變數，面值 $ par $ , 優惠券價值 $ C $ （每年支付）和利率 $ r $ ，以及一個不斷變化的變數，即到期時間 $ n $
首先，相關公式：
價格 $ P $ 正如你已經寫過的，每一個債券是
$$ P=C*[\frac{1}{r}-\frac{1}{r}*\frac{1}{(1+r)^{n}}]+\frac{par}{(1+r)^{n}} $$ 持續時間 $ D $ 每個債券的
$$ D = \sum_{t=1}^{n}{w_t*t} $$ 在哪裡 $ w_t $ 是
$$ w_t = \frac{C_t}{(1+r)^t}*\frac{1}{P} $$ 波動性 $ V $ 每隻債券的（修正久期）為
$$ V = \frac{D}{(1+r)} $$ 修改的持續時間 $ V $ 給出了債券利率敞口的準確衡量標準。因此，債券價格對利率的敏感性為
$$ \frac{\Delta P}{P} = -V*\Delta r $$ 現在，如果將所有這些放在一起，很容易得出“債券越長，對利率的敏感性越高”。
首先，很容易看出如何 $ P $ 涉及到 $ n $ . 作為 $ n $ 往上 $ P $ 也上升。作為 $ n $ 變大，但價格上漲率下降，你最終越來越接近 $ \frac{C}{r} $ （永續公式）。但是，您確實會不斷向上移動。
同樣，作為 $ n $ 變大，債券久期 $ D $ 也增加。它也接近一個極限，但它不斷增加。
到現在為止，您可能應該看到我將要處理的內容。作為 $ D $ 變大， $ V $ 也變大了。作為 $ V $ 越大，債券價格對利率的敏感性也會上升。
隨之而來的是 $ n $ 變大（債券變得“更長”），債券價格對利率的敏感性也會上升。
要查看數字範例，請查看以下圖表：
$ C = 100,\ par = 1000,\ r = 0.05,\ \Delta r = 0.001 $
$ P(n) $
$ D(n) $
$ \frac{\Delta P}{P} $ 為了 $ 0.001 $ 增加 $ r $ （圖表上寫著“0.01 dr”。這是錯誤的。r 的變化是 0.001）
$ \frac{\Delta P}{P} $ 為了 $ 0.01 $ 增加 $ r $ 對於多個 $ r $ 水平
最終，我得到了一個與您的相似的圖表，但沒有令人驚訝的結果。沒有債券價格變化線向上彎曲。所有的線越來越接近它們的極限，然後幾乎水平地向右移動。
為了用代數計算來總結它，從而解決你的第二個問題，我們有以下內容：
$$ \lim_{n \to +\infty}P = \frac{C}{r} $$ $$ \lim_{n \to +\infty}D = 1+\frac{1}{r} $$ $$ \lim_{n \to +\infty}V = \frac{1}{r} $$ 從數學上講，這些公式確認了所有數字的第一個問題的答案，而不僅僅是實際數字，它們還允許您計算相關限制。
上述數值範例中使用的數字和圖表也符合這些限制公式。債券價格接近 $ 2000 $ 根據上面的公式是 $ 100/0.05 $ , 債券久期接近 $ 21 $ 這是 $ 1 + 1/0.05 $ , 波動率方法 $ 20 $ 這是 $ 1/0.05 $ ，並且債券價格對利率的敏感性接近 $ -0.02 $ 這是 $ 0.001*(-20) $
