估計[數學處理錯誤]μ數學處理錯誤T]μ[Math Processing Error]mu- 只會增加噸T[Math Processing Error]T提高估計？
假設資產價格[數學處理錯誤] S數學處理錯誤R][Math Processing Error] $ S $ 遵循幾何布朗運動 (GBM)，日誌返回[Math Processing Error] $ R $ 分佈為
[Math Processing Error]$$ R_i := \log\left(\frac{S_i}{S_{i-1}}\right) \sim \mathcal{N}\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) \Delta t, \sigma^2 \Delta t \right), \quad i=1,\ldots,N. $$ 讓 $ m = \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) \Delta t $ 和 $ s^2 = \sigma^2 \Delta t $ 並考慮根據一些回報校準 GBM $ R_i $ . 我們將使用最大概似估計 $ m $ ，為簡單起見，我們假設 $ s $ 是已知的（如果我們自己通過模擬生成數據就是這種情況），在這種情況下
$$ \hat{m} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^M R_i. $$ 那麼樣本均值的抽樣分佈近似為 $ \hat{m} \sim \mathcal{N}\left(m, \frac{s^2}{N}\right) $ , 和一個近似值 $ (1-\alpha)100% $ 真實均值的信賴區間 $ m $ 是 $$ [\hat{m} - z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{N}},: \hat{m} + z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{N}}] \qquad (1). $$ 特別是，增加觀察次數 $ N $ 導致較小的信賴區間。當然，這是基本統計的標準結果。 另一方面，我們確實需要估計[Math Processing Error] $ \mu $ 在實踐中，並從 $ (1) $ 我們可以推導出一個信賴區間[Math Processing Error] $ \hat{\mu} = \frac{\hat{m}}{\Delta t} + \frac{\sigma^2}{2} $ :
[Math Processing Error]$$ \begin{align*} & \hat{m} - z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{N}} < m < \hat{m} + z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{N}} \ & \qquad \iff \hat{m} - z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{N}} < \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right) \Delta t < \hat{m} + z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{N}} \ & \qquad \iff \frac{\hat{m}}{\Delta t} + \frac{\sigma^2}{2} - z_{\alpha/2}\frac{s}{\Delta t\sqrt{N}} < \mu < \frac{\hat{m}}{\Delta t} + \frac{\sigma^2}{2} + z_{\alpha/2}\frac{s}{\Delta t\sqrt{N}} \ & \qquad \iff \hat{\mu} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{N \Delta t}} < \mu < \hat{\mu} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{N \Delta t}}. \end{align*} $$ 那麼，由於 $ \Delta t = \frac{T}{N} $ 最後的觀察時間[Math Processing Error] $ T $ ， 一種 $ (1-\alpha)100% $ 真實漂移的信賴區間 $ \mu $ 是 [數學處理錯誤] [μ^−zα/2σT,μ^+zα/2σT].數學處理錯誤N][Math Processing Error]$$ [\hat{\mu} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{T}},: \hat{\mu} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{T}}]. $$ 特別是，增加觀察次數[Math Processing Error] $ N $ 對漂移的信賴區間沒有影響[數學處理錯誤] μ數學處理錯誤T][Math Processing Error] $ \mu $ . 相反，我們只能通過增加最終時間來獲得更小的信賴區間，[Math Processing Error] $ T $ . 確實，對於固定[數學處理錯誤] T數學處理錯誤N][Math Processing Error] $ T $ 我們可能會考慮獲得越來越高的頻率數據，以便[Math Processing Error] $ N $ 變得越來越大。但是之後 $ \Delta t $ 根據定義變得越來越小，這樣 $ dt = \frac{T}{N} $ . 這似乎很反直覺：對於固定[Math Processing Error] $ T $ , 不管我有1,000 或 $ 1e16 $ 觀察，我離我真正的漂移越來越近了[數學處理錯誤] μ數學處理錯誤μ][Math Processing Error] $ \mu $ . 另一方面，如果我在 100 年內只有 10 次觀察，我會得到更好的估計[Math Processing Error] $ \mu $ .
我忽略了什麼嗎？也許這是估計我不知道的漂移的一個眾所周知的問題？
是的，你是對的。考慮以下玩具範例：
- 原木價格如下： $ dp_t=\mu dt+\sigma dW_t $
2）然後： $ r_{t+h,h}=p_{r+h,h}-p_t ~ N(\mu h, \sigma^2 h) $ 3) 標準 ML 估計器：
- [Math Processing Error] $ \hat{\mu}=\frac{1}{nh}\sum_{k=1} r_{kh,h} $
- [Math Processing Error] $ \hat{\sigma^2}=\frac{1}{nh}\sum_{k=1} (r_{kh,h}-\hat{\mu}h)^2 $
估計量的漸近分佈：
- [Math Processing Error] $ \sqrt T(\hat{\mu}-\mu) \rightarrow N(0,\sigma^2) $
- [Math Processing Error] $ \sqrt n (\hat{\sigma^2}-\sigma^2)\rightarrow N(0,\sigma^4) $
所以當[數學處理錯誤] n數學處理錯誤σ2] 數學處理錯誤T] 數學處理錯誤μ][Math Processing Error] $ n $ 趨於無窮大，我們得到精確的估計[Math Processing Error] $ \sigma^2 $ ， 什麼時候[Math Processing Error] $ T $ 趨於無窮大，我們得到它[Math Processing Error] $ \mu $ .
這首先由Merton (1980)指出。