局部波動 SVI 參數化
在本文中，Gatheral 提出了隱含總變異數的以下參數化 $ w(k,T) = \sigma_{BS}(k,T)^2T $ 對於每個切片 $ k \mapsto w(k,T) $ :
$$ w(k) = a + b{\rho (k-m) + \sqrt{(k-m)^2 + \sigma^2} }. $$ 據我了解，對於每個到期 $ T $ 必須校準一組五個參數 $ {a,b,m,\rho,\sigma} $ .
另一方面，我發現以下文章在附錄 A 中提供了校準的波動率表面。但在他們的例子中，有一個明確的依賴 $ T $ ，因此它們將對整個波動率表面有一個“簡單”的特定表達。
在閱讀有關各種參數化的文章時，我注意到的另一件事是，隱含總變異數似乎存在一些不一致之處。Gatheral 將其定義為 $ \sigma_{BS}(k,T)^2T $ 但我在其他文章中看到人們參數化 $ \sigma_{BS}(k,T)^2 $ 或者 $ \sigma_{BS}(k,T) $ 反而。
總結：我的問題主要是是否必須為每個到期切片校準 SVI，或者是否有可能以某種方式對整個表面進行參數化，以便在添加更多到期時參數總數不會增加。
Gatheral 和 Jacquier 在論文的第 4 節討論了這個問題。他們沒有使用 SVI 的原始參數化，而是使用總隱含變異數的自然參數化：
$$ w(k) = \Delta + \frac{\omega}{2} \left{ 1 + \zeta \rho (k - \mu) + \sqrt{(\zeta (k-\mu) + \rho)^2 + (1-\rho^2)} \right} (\text{p. 61 of the published paper}) $$ 為了擬合總隱含變異數的整個表面，他們提出了以下概括。為了確保擬合沒有套利，他們根據對數貨幣和平價隱含總變異數定義表面 $ \theta_t := \sigma_{BS}^2(0,t)t $ . 然後 Surface SVI 具有以下形式：
$$ w(k,\theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left{ 1 + \rho \phi(\theta_t) k + \sqrt{(\phi(\theta_t) k + \rho)^2 + (1-\rho^2)} \right} (\text{p. 63 of the published paper}) $$ 在哪裡 $ \phi $ 是一個平滑函式 $ \mathbb{R}{+} $ 到 $ \mathbb{R}{+} $ 這樣限制 $ \lim_{t\rightarrow 0} \theta_t \phi(\theta_t) $ 存在於 $ \mathbb{R} $ . 因此，您需要適合整個表面的參數是 $ \rho $ 以及任何需要的東西 $ \phi $ . 在實踐中，您需要一些插值來獲得 $ \theta_t $ 因為您幾乎從未觀察到恰好為 0 的對數貨幣性。 功能 $ \phi $ 並且參數必須滿足一定的限制才能使參數化無套利。論文詳細討論了這些。
Heston 和 Jacquier 提出了兩種可能 $ \phi $ 職能：
$$ \phi(\theta) = \frac{1}{\lambda \theta} \left( 1 - \frac{1-e^{-\lambda\theta}}{\lambda \theta} \right) $$ 他們稱之為類似赫斯頓的參數化和冪律 $$ \phi(\theta) = \eta \theta^{-\gamma} $$ 不久前，我在 MATLAB 中實現了這篇論文。最後，我沒有使用這些程式碼，因此沒有對它們進行廣泛測試。我已將它們上傳到文件交換。也許他們對你有幫助： http: //ch.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49962-gatherals-and-jacquier-s-arbitrage-free-svi-volatility-surfaces