Hull-White 中的 theta 解決方案背後的證明，具有時間相關的波動性和均值回歸？
我正在研究以下關於 Hull-White 模型校準的論文： Hull-White paper
在本文中，他們研究了具有時間相關均值回歸和波動性的 HW 模型的一般形式：
$$ dr(t) = (\theta(t) - a(t)r(t))dt + \sigma(t)dW(t) $$ 我試圖證明他們的解決方案 $ \theta(t) $ 它與每個到期日的規定貼現率相匹配（見論文第 36 頁）。我還沒有看到在這種通用性下派生的這個函式。 論文中的解決方案如下：
$$ \theta(t) = \frac{\partial}{\partial t} f(0,t) + a(t) f(0,t) + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} V(0,t) + a(t) \frac{\partial}{\partial t} V(0,t) \right) $$ 在哪裡： $$ f(0,t) = \text{ instantaneous forward rate at time } t $$ $$ V(t,T) = \int_t^T \sigma(u,T)^2 du $$ $$ \sigma(u,T) = \sigma(u)B(u,T) $$ $$ B(t,T) = E(t) \int_t^T \frac{du}{E(u)} $$ $$ E(t) = e^{\int_0^t a(u) du} $$ 我想人們可以遵循在模型的更簡單版本中完成的類似方法，並且：
- 計算 $ r(t) $ 通過集成
- 計算債券價格
- 取債券價格對數的導數來計算遠期價格
- 以某種方式隔離 $ \theta(t) $ 在可能對上一個方程進行另一個導數之後？
更新： 這是我到目前為止得到的。將 Itô 引理應用於函式：
$$ F(r(t), t) = E(t) r(t) $$ 我們得到： $$ F_t = a(t) E(t) r(t) \hspace{10pt} F_r = E(t) \hspace{10pt} F_{rr} = 0 $$ 導致： $$ \begin{align*} dF(t) &= F_t dt + F_r dr \ &= E(t)\theta(t)dt + E(t)\sigma(t)dW(t) \end{align*} $$ 從整合 $ t $ 至 $ s $ 一個得到： $$ \begin{align*} F(s) - F(t) &= \int_t^s E(u)\theta(u)du + \int_t^s E(u)\sigma(u)dW(u) \ E(s)r(s) &= E(t)r(t) + \int_t^s E(u)\theta(u)du + \int_t^s E(u)\sigma(u)dW(u) \ r(s) &= \frac{E(t)}{E(s)}r(t) + \frac{1}{E(s)}\int_t^s E(u)\theta(u)du + \frac{1}{E(s)}\int_t^s E(u)\sigma(u)dW(u) \end{align*} $$ 我們現在通過整合這個短期利率來計算債券價格 $ t $ 至 $ T $ 並應用債券價格的定義。首先我們整合併利用 Fubini 定理： $$ \begin{align*} \int_t^T r(s) ds &= \int_t^T \frac{E(t)}{E(s)}r(t) ds + \int_t^T \int_t^s \frac{E(u)}{E(s)}\theta(u) du ds + \int_t^T \int_t^s \frac{E(u)}{E(s)}\sigma(u) dW(u) ds \ &= \int_t^T \frac{E(t)}{E(s)}r(t) ds + \int_t^T \int_u^T \frac{E(u)}{E(s)}\theta(u) ds du + \int_t^T \int_u^T \frac{E(u)}{E(s)}\sigma(u) ds dW(u) \ &= r(t)\underbrace{E(t) \int_t^T \frac{1}{E(s)} ds}{B(t,T)} + \int_t^T \theta(u) \underbrace{E(u) \int_u^T \frac{1}{E(s)} ds}{B(u,T)} du + \int_t^T \sigma(u) \underbrace{E(u) \int_u^T \frac{1}{E(s)} ds}_{B(u,T)} dW(u) \ &= r(t) B(t,T) + \int_t^T \theta(u) B(u,T) du + \int_t^T \sigma(u) B(u,T) dW(u) \end{align*} $$ 現在我們可以通過以下方式計算債券價格： $$ \begin{align*} P(t,T) &= \mathbb{E}_t \left[e^{-\int_t^T r(s) ds} \right] \ &= e^{-r(t)B(t,T) - \int_t^T\theta(u)B(u,T)du} \mathbb{E}_t \left[ e^{-\int_t^T \sigma(u) B(u,T) dW(u)} \right] \ &= e^{-r(t)B(t,T) - \int_t^T\theta(u)B(u,T)du} e^{\frac{1}{2} \int_t^T \sigma(u)^2 B(u,T)^2 du} \end{align*} $$ 在這裡我們使用了 $ r(t) $ 眾所周知 $ t $ 以及對數正態變數的期望公式。我們現在可以取對數和導數來生成瞬時遠期匯率的公式： $$ \begin{align*} f(0,T) &= - \frac{\partial}{\partial T} \ln P(0,T) \ &= \frac{\partial}{\partial T} \left[ r(0) B(0,T) + \int_0^T \theta(u) B(u,T) du - \frac{1}{2} \int_0^T \sigma(u)^2 B(u,T)^2 du \right] \end{align*} $$ 在這裡，我們將使用幾個屬性 $ B(t,T) $ 直接來自其定義： $$ \frac{\partial}{\partial T} B(t,T) = \frac{E(t)}{E(T)} \hspace{5pt} \text{ and } \hspace{5pt} B(T,T) = 0 $$ $$ \begin{align*} f(0,T) &= r(0) \frac{E(0)}{E(T)} + \int_0^T \theta(u) \frac{E(u)}{E(T)} du - \frac{1}{2} \int_0^T \sigma(u)^2 2B(u,T)\frac{E(u)}{E(T)} du \end{align*} $$ 對 $ T $ 將導致兩個實例 $ \theta(t) $ 在公式。我沒有看到一種方法來單獨隔離這個函式來恢復上面論文中引用的公式。
我們假設過程 $ {r(t), , t \ge 0} $ 滿足形式的 SDE
$$ \begin{align*} dr(t) = \big( \theta(t) - a(t) r(t) \big)dt + \sigma(t) dW_t, \quad t > 0, \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t, , t \ge 0 } $ 是標準的布朗運動。注意 $$ \begin{align*} d\left(e^{\int_0^t a(u) du}r(t) \right) &=a(t) e^{\int_0^t a(u) du}r(t) dt + e^{\int_0^t a(u) du} dr(t)\ &= \theta(t) e^{\int_0^t a(u) du} dt + \sigma(t)e^{\int_0^t a(u) du}dW_t. \end{align*} $$ 那麼，對於 $ v \ge t $ , $$ \begin{align*} r(v) = r(t) e^{-\int_t^v a(u) du} + \int_t^v \theta(s)e^{-\int_s^v a(u)du} ds+\int_t^v \sigma(s)e^{-\int_s^v a(u)du} dW_s. \end{align*} $$ 為了 $ 0 \le t \le T $ ， 讓 $$ \begin{align*} P(t, T) = E\left(e^{-\int_t^T r_s ds},|, \mathcal{F}_t \right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ E $ 是風險中性測度下的期望運算元， $ \mathcal{F}_t $ 是按時間設置的資訊 $ t $ , 為到期零息債券的價值 $ T $ 和單位名義金額。此外，讓 $$ \begin{align*} B(t, T) &= \int_t^T e^{-\int_t^v a(u) du} dv,\ \sigma(t, T) &= \sigma(t) B(t, T),\ V(t, T) &= \int_t^T \sigma^2(u, T) du. \end{align*} $$ 從以上 $$ \begin{align*} P(t, T) &= E\left(e^{-\int_t^T r_v dv},|, \mathcal{F}_t \right) \ &=E\left(e^{-\int_t^T \left(r(t) e^{-\int_t^v a(u) du} + \int_t^v \theta(s)e^{-\int_s^v a(u)du} ds\right)dv - \int_t^T \left(\int_t^v \sigma(s)e^{-\int_s^v a(u)du} dW_s\right) dv},|, \mathcal{F}_t \right) \ &=e^{-r(t) B(t, T)}E\left(e^{-\int_t^T \left(\int_t^v \theta(s)e^{-\int_s^v a(u)du} ds\right)dv - \int_t^T \left(\int_t^v \sigma(s)e^{-\int_s^v a(u)du} dW_s\right) dv},|, \mathcal{F}_t \right) \ &=e^{-r(t) B(t, T)}E\left(e^{-\int_t^T \left(\int_s^T \theta(s)e^{-\int_s^v a(u)du} dv\right)ds - \int_t^T \left(\int_s^T \sigma(s)e^{-\int_s^v a(u)du} dv\right) dW_s},|, \mathcal{F}_t \right) \ &=e^{-r(t) B(t, T)}E\left(e^{ -\int_t^T \theta(s)B(s, T)ds - \int_t^T \sigma(s)B(s, T) dW_s},|, \mathcal{F}_t \right) \ &=e^{-r(t) B(t, T)-\int_t^T \theta(s)B(s, T)ds + \frac{1}{2}V(t, T)}. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} f(0, t)&=-\frac{\partial}{\partial t}\ln P(0, t)\ &=r(0)\frac{\partial}{\partial t}B(0, t) + \theta(t)B(t, t) + \int_0^t\theta(s)\frac{\partial}{\partial t}B(s, t)ds - \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}V(0, t)\ &=r(0)e^{-\int_0^t a(u) du} + \int_0^t\theta(s)e^{-\int_s^t a(u) du}ds- \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}V(0, t). \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t} f(0, t) &= -a(t)r(0)e^{-\int_0^t a(u) du} + \theta(t) - a(t)\int_0^t \theta(s)e^{-\int_s^t a(u) du}ds-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}V(0, t)\ &=-a(t)\left(f(0, t) + \frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}V(0, t) \right) + \theta(t) -\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}V(0, t). \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \theta(t) = \frac{\partial}{\partial t} f(0,t) + a(t) f(0,t) + \frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} V(0,t) + a(t) \frac{\partial}{\partial t} V(0,t) \right). \end{align*} $$