關於方程和風險因素的問題。
假設我有兩個風險因素 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ . 標準差 $ X_1 $ 是 $ \sigma_1 $ 和 $ \sigma_2 $ 為了 $ X_2 $ . 此外， $ X_1 $ 有一個意思 $ \mu_1 $ 和 $ X_2 $ 有一個意思 $ \mu_2 $ . 之間的相關性 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 是 $ \rho $ .
系統如下：
$$ \begin{eqnarray} X_1 & = & \mu_1 + \lambda_{11} U_1 \ X_2 & = & \mu_2 + \lambda_{21} U_1 + \lambda_{22} U_2 \end{eqnarray} $$ 我的書是這樣寫的：
“因此：
$ \lambda_{11}=\sigma_1 $ (1)
$ \lambda_{21}^2 + \lambda_{22}^2= \sigma_2^2 $ (2)
$ \lambda_{21} \lambda_{11}= \rho \sigma_1 \sigma_2 $ (3)"
我不明白他們是如何計算出第 (2) 和 (3) 行的。
有人可以幫忙嗎？
如果 $ \Sigma $ 是隨機變數的變異數/共變異數矩陣 $ U_1, U_2, \ldots U_n $ ， 和 $ V = c + w_1 U_1 + \ldots + w_n U_n $ ， 在哪裡 $ c $ 是一個常數，我們讓 $ \mathbf{w} $ 是帶有“權重”的向量 $ w_1, w_2, \ldots, w_n $ ，那麼變異數 $ V $ 等於 $ \mathbf{w}^{\top}\Sigma\mathbf{w} $ . 此外，如果 $ T $ 是由權重向量描述的另一個隨機變數 $ \mathbf{x} $ ，那麼變異數 $ T $ 是 $ \mathbf{x}^{\top}\Sigma\mathbf{x} $ , 和共變異數 $ V $ 和 $ T $ 等於 $ \mathbf{x}^{\top}\Sigma\mathbf{w} $ .
在你的問題中，
$$ \Sigma = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 你正在查看權重向量 $ [\lambda_{11},0] $ 和 $ [\lambda_{21},\lambda_{22}] $ ，因此變異數為 $ X_1 $ 是 $ \lambda_{11}^2 $ ，這是第一個方程，變異數 $ X_2 $ 是 $ \lambda_{21}^2 + \lambda_{22}^2 $ ，這是第二個等式。計算共變異數 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 給出第三個等式。