如何在 Hull-White 模型中設置 theta 函式以複製目前收益率曲線
我想根據目前市場數據校準 HW 單因素模型。如何設置功能 $ \theta(t) $ 在
$$ \mathrm{d}r(t) = \kappa(\theta(t)-r(t))\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}W(t) $$ 複製目前的收益率曲線，即我要查看哪些數據來校準（Libor 曲線？）以及如何使用這些數據來獲得 $ \theta $ ?
關於您的第一個問題，這取決於您對什麼曲線、貨幣等感興趣。建構收益率曲線的一般方法稱為自舉法，它允許您從有息票據的已知價格推導出即期零息票利率 $ - $ 例如債券或掉期。一般來說：
- 您開始選擇短期（通常少於 1 年）、零息票工具，例如遠期利率協議 (FRA)、期貨、證書存款 (CD) 來啟動曲線；
- 然後，對於較長期限（通常超過 1 年），您選擇掉期等附息工具，並從這些工具的價格和您已經擁有的之前的零息票利率中迭代地引導這些到期日的零息票利率。
對於歐元曲線，您可以查看期限低於 1 年的利率期貨和期限較長的標準固定浮動掉期，以得出基於 Libor 的收益率曲線。
至於你的第二個問題，我們假設你有一條自舉收益率曲線直到到期。 $ T_{\max} $ . 然後你可以推導出零息債券的價格 $ B(0,T) $ 連續到期 $ T \in [0;T_{\max}] $ 通過插值。由於這些價格來自市場數據，我將它們寫成 $ B^M(0,T) $ .
現在，請注意零息債券和瞬時遠期利率之間存在關係 $ f(0,T) $ 如下：
$$ f(0,T)=-\frac{\partial \ln B}{\partial T}(0,T) $$ 因此，您可以得出市場隱含的瞬時遠期匯率 $ f^M(0,T) $ 從目前的期限結構 $ \left(B^M(0,T):T \in [0;T_{\max]}\right) $ $ - $ 使用數值微分技術，例如有限差分。
稍微重寫你的 SDE：
$$ \mathrm{d}r(t) = (\theta(t)-\kappa r(t))\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}W(t) $$ 為了匹配您的自舉期限結構，您需要按如下方式設置 theta：
$$ \theta(t) = \frac{\partial f^M}{\partial T}(0,t) + \kappa f^M(0,t) + \frac{\sigma^2}{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t}) $$ 請注意，使用上述校準程序，您將僅根據收益率曲線校準模型。如果您想校準到更複雜的產品，例如選項，您可以將參數 $ \kappa $ 和 $ \sigma $ 時間相關函式： $ \kappa(t) $ , $ \sigma(t) $ .