Grossman 和 Miller 模型的負指數效用函式的期望
我有標準 $ 3 $ -時期格羅斯曼和米勒模型 $ 2 $ 外部交易者和 $ M $ 做市商。
有人告訴我：
- $ W_t^{(1)}, W_t^{(2)}, W_t^{(m)} $ 是當時第一個外部交易者、第二個外部交易者和做市商的財富 $ t $ .
- $ B_t^{(1)}, B_t^{(2)}, B_t^{(m)} $ 是當時第一個外部交易者、第二個外部交易者和做市商的現金 $ t $ .
- $ x_t^{(1)},x_t^{(2)},x_t^{(m)} $ 是第一個外部交易者、第二個外部交易者和做市商的證券份額 $ t $ .
- $ \tilde{p}_t $ 是當時未知的證券價格 $ t $ 服從正態分佈。
然後我被問到：
讓 $ x $ 為持股數量， $ \tilde{p} \sim N(\mu, \sigma^2) $ 是證券價格和 $ W=x \cdot \tilde{p} $ 成為財富。顯示 $ E(U(W)) = -e^{(((\lambda^2\sigma^2)/2)x^2)-\lambda\mu x} $
所以我知道負指數效用函式是： $ U(W)=-e^{-\lambda W} $ ，在這個問題的前一部分中，我為第一個外部交易者、第二個外部交易者和做市商制定了效用優化問題，但我不確定這些是否有幫助（如果它們有用，我可以上傳它們）。
這就是我卡住的地方，我不知道我怎麼能找到 $ E(U(W)) $ 鑑於我所知道的以及問題中提供的內容。
任何幫助將不勝感激，即使這只是讓我開始的提示。
提前致謝
推導預期效用來自於正態隨機變數矩生成函式的應用：
讓 $ U(W)=-e^{-\lambda W} $ 和 $ W=x \cdot \bar{p} $ 在哪裡 $ \bar{p} \sim N(\mu, \sigma^2) $ 如上所述，然後進一步注意 $ W $ 正態分佈 $ W \sim N(\mu \cdot x, x^2 \sigma^2) $ .
看到：
$$ \begin{align} \mathbb{E}\left[U(W)\right] &= \mathbb{E}\left[-e^{-\lambda W}\right]\ &=-\mathbb{E}\left[e^{-\lambda W}\right], \end{align} $$
與正態隨機變數的 mgf 非常相似。
請記住，具有分佈的正態隨機變數的矩生成函式 $ x \sim N(\mu, \sigma^2) $ 由（參見此處或此處的公式）給出：
$$ \mathbb{E}\left[e^{tx}\right] = e^{t\mu+\frac{\sigma^2t^2}{2}} $$
從上面繼續，您可以將矩生成函式應用於預期效用，從而產生所需的解決方案：
$$ \begin{align} \mathbb{E}\left[U(W)\right] &= \mathbb{E}\left[-e^{-\lambda W}\right]\ &=-\mathbb{E}\left[e^{-\lambda W}\right]\ &=-e^{-\mu x\lambda + \frac{x^2\sigma^2\lambda^2}{2}}\ &=-e^{\frac{\lambda^2\sigma^2x^2}{2} - \lambda\mu x}, \end{align} $$ 我已經重新調整了最後一個等式中的所有內容，以適應您的問題的解決方案。