多元正態分佈和拉普拉斯分佈實現的幾何布朗運動回撤分佈
我試圖從相同共變異數結構下的多元正態和拉普拉斯分佈樣本中模擬幾何布朗運動下降的分佈。回撤被定義為累積收益序列的最大峰值到谷底的下降，其中谷底出現在峰值之後。累積收益序列只是樣本收益的複合增長（形成類似幾何布朗運動）。
正如預期的那樣，從多元拉普拉斯分佈中抽取的樣本顯示出更大的極值。
但是當我累積收益並取最差的平均值時，比如 1%、0.1%、0.01% 的回撤，正常值和拉普拉斯值非常相似。事實上，正常回撤的幅度並不總是小於拉普拉斯回撤的幅度。在 252 天內，我一直在模擬 4 到 30 隻股票，每次模擬最多 50,000 次回撤（在 252 天內）。
沒有投資組合再平衡。換句話說，我允許投資組合持有的權重在 252 天內漂移。
這不是我所期望的。任何關於這一發現的理論見解都值得讚賞。
在下文中，我認為結果是由於大數定律和拉普拉斯分佈隨機變數之和向正態分佈收斂。
方法
讓我們保持簡單並假設 - 不失一般性 - 單變數設置。與您的問題文本一樣，我們定義了下降 $ DD $ 作為沿觀察到的時間序列的最大峰谷移動 $ S_i $ 長度 $ N $ , $ S_1, S_2,\ldots S_N $ ， IE
$$ \begin{align} DD_N &\equiv \max_{i,j}S_i-S_j \ \mathrm{s. t.} &\quad 1\leq i<j\leq N \end{align} $$
正如你的問題，給出兩點 $ i<j $ 在我們的系列中，我們介紹了累積（對數）回報 $ R(i,j)\equiv \sum_{k=i+1}^jr_k $ 並辨識 $$ S_j\equiv S_ie^{R(i,j)} $$ 和 $ r_k\equiv\ln(S_k)-\ln(S_{k-1}) $ 這 $ k $ 日誌返回觀察。
陳述 1：更長的（觀察）時間段將導致更大的價格變化，因此會導致更大的回撤（統計上）：
鑑於上述設置，我們發現從 $ i $ 至 $ j $ （可能是回撤）是
$$ \begin{align} S_j-S_i&=S_ie^{R(i,j)}-S_i\ &=S_i\left(e^{R(i,j)}-1\right)\ &=S_i\left(e^{\sum_{k=i+1}^jr_k}-1\right) \end{align} $$
因此回撤 $ DD_N $ （當然）與個人回報貢獻的累積總和直接相關。有點非正式：我們的措施涵蓋的潛在時期越大（ $ j-i+1 $ 時機率會增加 $ N $ 增加），大幅回撤的可能性越大。再次，非正式地
$$ DD_N > DD_M \quad \forall N>M $$
這對你來說應該不是新聞：時間跨度越長 $ j-i+1 $ 在此期間，我們允許（壞的）個人回報通過讓 $ N $ 增長，潛在的回撤就越大。
陳述 2：較長的累積回報序列將收斂到正態分佈
然而，作為 $ N $ 增加，並在適當的技術條件下，總和的分佈 $ N $ （充分）獨立隨機變數將通過中心極限定理收斂到正態分佈。因此，對於足夠大的數 $ N $ 在您的範例中，從拉普拉斯分佈回報採樣的最大下降將收斂到具有適當選擇參數的正態分佈的下降。
如果我們看一下總和的峰度，我們可以看到情況確實如此 $ N $ 拉普拉斯分佈的隨機變數以零為中心。拉普拉斯分佈的矩生成函式是
$$ M_X(t)\equiv \mathrm{E}\left(e^{tX}\right)=\frac{1}{1-b^2t^2} $$
對於一些色散參數 $ b $ . 同樣，總和的 MGF $ N $ 獨立拉普拉斯試驗是 $$ M_{Z_N=\sum_{i=1}^NX_i}(t)\equiv \mathrm{E}\left(e^{t\sum_{i=1}^NX_i}\right)=\frac{1}{\left(1-b^2t^2\right)^N} $$
從同一個 wiki 頁面，我們知道如何使用矩生成函式計算分佈的前四個矩並找到
$$ \mathrm{E}(X)=0\quad\mathrm{E}(X^2)=2b^2\quad\mathrm{E}(X^3)=0\quad\mathrm{E}(X^4)=24b^4\quad $$
和
$$ \mathrm{E}(Z_N)=0\quad\mathrm{E}(Z_N^2)=2b^2N\quad\mathrm{E}(X^3)=0\quad\mathrm{E}(X^4)=12b^4N(N+1)\quad $$
我們現在可以證明 $ Z_N $ 將收斂到一個正態分佈的隨機變數為 $ N\to \infty $
$$ \begin{align} \mathrm{Kurt}(Z_N)&\equiv \frac{\mathrm{E}\left(\left(Z-\mathrm{E}(Z)\right)^4\right)}{\mathrm{E}\left(\left(Z-\mathrm{E}(Z)\right)^2\right)^2}\ &=\frac{\mathrm{E}\left(Z^4\right)}{\mathrm{E}\left(Z^2\right)^2}\ &=\frac{12b^4N(N+1)}{4b^4N^2}\ &=3\left(1+\frac{1}{N}\right) \end{align} $$
支持模擬研究
請在下面找到使用 進行的相應模擬研究的結果
R。我的模擬基於n交易日的模擬每日收益（使用正態分佈和拉普拉斯分佈）。為方便起見，我假設波動率為 20%，平均回報為零，回報序列長度 $ N=2, 20, 50, 252 $ 觀察。我堅持你的nSim = 50000模擬路徑設置。注意：我選擇了拉普拉斯分佈的參數，使得模擬收益波動率確實為 20%，並且我調整了模擬序列，使得期望值為 $ E(S_j|S_i)=S_i $ 在兩種設置下。
nSim <- 50000 sigma <- 0.2 dt <- 1 / 252 maxDD <- function(z){ dd <- 0.0 for (i in 1:(length(z)-1)){ cand <- max(z[i]-z[-(1:i)]) if (cand>dd){dd <- cand} } dd } n <- 2 normal <- normal <- sapply(1:nSim,function(i){ maxDD(exp(c(0,cumsum( -0.5 * sigma^2 * dt + sigma*sqrt(dt)*rnorm(n=n) ))))}) laplace <- sapply(1:nSim,function(i){ maxDD(exp(c(0,cumsum( -log(2) * sigma^2 * dt + sigma*sqrt(dt)*ExtDist::rLaplace(n=n,mu = 0,b=sqrt(2)/2) ))))}) qqplot(normal,laplace) abline(a=0,b=1) title(main=paste("N = ",n))最後，我為下面的每個假設系列長度創建了所得回撤分佈的QQ 圖。從圖中我們可以看出，模擬的回撤分佈會根據您的觀察收斂。對於小 $ N $ ，拉普拉斯的尾部對正態分佈有影響，但只要我們簡單地“允許”更多收益進入回撤，中心極限定理的影響就會超過拉普拉斯分佈的尾部。
