增強蒙特卡羅收斂性（粗略方法）
我目前正在做一個涉及蒙地卡羅方法的項目。我想知道是否有論文處理“學習”改進方法以增強 MC 收斂，例如：
目標：估計 $ E(X)\thickapprox \sum _{i=1}^{10 000}X_i $
->步驟 1（500 次模擬）： $ approx_1=\sum _{i=1}^{500}X_i $
(i) 定義和“接受間隔”
$ A_1 = [approx_1-\epsilon_1,approx_1+\epsilon_1] $
在哪裡 $ \epsilon_1 $ 可能是經驗變異數和其他統計數據的函式
->第2步（500個其他模擬）：*“拋出”*所有模擬超出區間 $ A_1 $ , $ approx_2=\sum _{i=1}^{500}X_i^{(2)} $
新的“接受間隔”
$ A_2 = [approx_2-\epsilon_2,approx_2+\epsilon_2] $
在哪裡 $ \epsilon_2 < \epsilon_1 $
…
$ \epsilon \xrightarrow {} 0 $
謝謝你的幫助
如果您的積分變數確實是一維的，正如您所說的那樣，那麼您應該使用求積來評估期望積分。正交的計算效率在一維上遠高於蒙地卡羅（即使考慮到修改後的採樣）。
如果您的問題實際上是多維的，那麼最好的辦法是使用前幾次迭代（您建議上面的 500 次）來幫助選擇重要性抽樣方案。您的視窗方案是有時標記為分層抽樣的不同技巧，並且從編碼的角度來看往往會變得棘手。
要執行重要性抽樣，您將使用所謂的隨機樣本的等效度量來修改分佈，以使它們中的大多數都落在“有趣”的區域中。最簡單的技術是確保您從多元正態分佈中抽樣，然後移動樣本的均值和變異數，例如，其中 90% 的樣本落在您的“感興趣”區域內。
移動樣本後，您需要跟踪它們的概似比（或 Radon-Nikodym 導數）與原始分佈的對比，因為您的樣本現在需要在 Monte Carlo 總和中按該比率加權。在正態分佈發生變化的情況下，每個樣本的計算都相當容易 $ \vec{x} $ ， 作為
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi\ \text{det}A^{-1}}}\exp{\left[-\frac12 (x-b)A(x-b)^t\right]} $$ 在哪裡 $ A $ 和 $ b $ 是共變異數矩陣和對原始多元正態變化的均值。