2 因子赫爾懷特模型如何傳播遠期利率曲線？
我一直在嘗試掌握利率建模的一些基礎知識，並希望使用 2 因子 Hull White 模型來模擬利率，我知道該模型提供了一個更現實的利率模型，允許之間不完美的相關性瞬時遠期利率。
我在網上找到了將模型簡化為加性高斯模型的資源，其中一個用於短期利率 $ r(t) $ :
$ r(t) = \varphi(t) + x_1(t) + x_2(t) $
在哪裡 $ x_1, x_2 $ 是均值回復過程，受以下因素支配：
$ dx_1(t) = -a_1x_1(t)\cdot dx + \sigma_1\cdot dW_1(t) $
$ dx_2(t) = -a_1x_2(t)\cdot dx + \sigma_2\cdot dW_2(t) $
和 $ dW_1(t)dW_2(t) = \rho $ ， 和 $ \varphi(t) $ 是確定性的，並被選擇以擬合初始遠期利率曲線 $ f(0,t) $ :
$ \varphi(t) = f(0,t) + \frac{\sigma_1^2}{2a_1^2}\left(1-e^{-a_1t}\right)^2+\frac{\sigma_2^2}{2a_2^2}\left(1-e^{-a_2t}\right)^2+\rho\frac{\sigma_1\sigma_2}{a_1a_2}\left(1-e^{-a_1t}\right)\left(1-e^{-a_2t}\right) $
這告訴我如何模擬短期利率（通過更新 $ x_1,x_2 $ 每次遞增並添加到 $ \varphi $ )，但我的問題是，如何模擬整個前向曲線的演變？我還找到了（笨拙的）封閉式表達式 $ P(t,T) $ 一個學期的價格 $ T $ 零息債券 $ t $ ，從中可以得到正向曲線，但是有沒有辦法在時間生成正向曲線 $ t+\Delta t $ 通過及時更新曲線 $ t $ , 類似於我們可以在短期內做到這一點的方式 $ r(t) $ ?
短期利率模型（例如 Hull-White）的 Heath-Jarrow-Morton 表示將為您提供整個遠期曲線演變的表達式，但它並沒有使問題變得更容易。您上面提到的封閉式 ZC 公式可能是您最好的選擇。