使用 NIG 分佈對庫存路徑進行建模
我想使用蒙特卡羅模擬來為一些選項定價。首先，我使用標準方法，其中股票價格由以下過程描述：
$$ S_T = S_0\exp \left[(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma \sqrt{T}\varepsilon\right], $$ 在哪裡 $ S_0 $ 是當時的初始股票價格 $ t = 0 $ , $ S_T $ 是當時的股票價格 $ T $ , $ T $ 是一個時間步長， $ r $ 是無風險利率， $ \sigma $ 是一個標準差，如果股票回報和 $ \varepsilon $ 是一個獨立的正態分佈變數 $ \varepsilon \sim \phi(0, 1) $ 該模型假設股票價格的對數收益服從正態分佈，使得 $ \log{\frac{S_T}{S_0}} \sim \phi(\mu, \sigma^2) $ , 其中（來自伊藤引理） $ \mu = (r - 0.5\sigma^2)T $ 和 $ var = \sigma^2T . $ 現在我假設股票價格的回報遵循正態逆高斯分佈(NIG)。我的問題是我可以插入我的公式 $ S_T $ 使用估計參數（使用 MLE）而不是 $ \varepsilon $ 而不是比較期權價格？過程將如下所示：
$$ S_T = S_0\exp \left[(r - 0.5\sigma^2)T + \sigma T\varepsilon^\right], $$ 在哪裡 $ \varepsilon^ \sim NIG(\hat{\mu}, \hat{\alpha}, \hat{\delta}, \hat{\beta}). $ 我猜 NIG 的屬性不允許我進行此類操作，但我不確定在哪裡可以找到解決此問題的方法。歡迎任何提示！
非常感謝@Quantuple 的幫助：
假設您已將此定義用於 NIG 分佈，並且您已設法得出估計值 $ (\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\mu}, \hat{\delta} ) $ 對於各個 NIG 參數，您的問題歸結為：
“如何模擬來自全域日誌返回過程的路徑 $ R_t = \ln(S_t/S_0) $ 對所有人 $ t \in [0,T] $ , 假設 iid $ NIG(\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\mu}, \hat{\delta} )- $ 分佈式定期日誌返回（在您的情況下是每天）？”
首先，不，您不能使用您提到的方程式。
然而，由於 NIG 分佈是正態變異數-均值混合的一種特殊情況（參見本文件，第 14 頁），如果讓
$$ \begin{align} \sigma^2 &\sim IG\left( \frac{\delta}{\gamma}, \delta^2 \right),\ \ \text{with } \gamma = \sqrt{ \alpha^2 - \beta^2 } \ \varepsilon &\sim \mathcal{N}(0,1) \end{align} $$ 然後是隨機變數 $ X $ 定義為 $$ X = \mu + \beta \sigma^2 + \sigma \varepsilon $$ 遵循一個 $ NIG(\alpha,\beta,\mu,\delta) $ 分配。 現在，讓 $ r_{\delta t, i} $ 表示 $ \delta t $ -對給定觀察到的周期日誌返回 $ t_i \in [0,T] $
$$ r_{\delta t, i} := \ln\left( \frac{S_{t_i}}{S_{t_i-\delta t}} \right) $$ 然後您可以按照以下步驟生成全域退貨流程的實現 $ (R_t)_{t\geq 0} $ .
- 在 iid NIG-distributed 的假設下 $ {r_{\delta t, i}} $ , 估計 NIG 參數 $ (\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\mu}, \hat{\delta} ) $ 使用您最喜歡的方法（最大概似估計、矩匹配等）從歷史數據中提取。
- 模擬定期日誌返回 $ {r_{\delta t,i}}_{i=1,…,N} $ （在實踐中 $ N = T/\delta t $ 在哪裡 $ T $ 確定您的 MC 模擬的範圍和 $ \delta t $ 單個定期日誌返回占主導地位的時期的長度）使用上面提到的關鍵結果（i）生成 $ \sigma_i^2 \sim IG(\hat{\delta}/\hat{\gamma}, \hat{\delta}^2)\ \ \text{i.i.d.} $ （例如參見此處），（ii）生成 $ \varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0,1) \ \ \text{i.i.d.} $ (iii) 計算
$$ r_{\delta t,i} = \hat{\mu} + \hat{\beta} \sigma_i^2 + \sigma_i \varepsilon_i $$ 3. 一旦所有 $ {r_{\delta t, i}}{i=1,…,N} $ 已模擬，搭建全球退貨流程 $ (R_t){t\geq 0} $ 通過聚合一定數量 $ n $ 的定期回報。事實上，對於任何固定的 $ t \in [0,T] $ , 全域對數返回 $ R_t := \ln(S_t/S_0) $ 計算為：
$$ \begin{align} R_t &= \ln\left(\frac{S_t}{S_0}\right) \ &= \ln\left(\frac{S_t}{S_{t-\delta t}} \frac{S_{t-\delta t}}{S_{t- 2\delta t}} \dots \frac{S_{\delta t}}{S_{0}}\right) \ &= \sum_{ t_i \in [\delta t, t] } \ln \left( \frac{S_{t_i}}{S_{t_i-\delta t}} \right) \ &= \sum_{i \leq n} r_{\delta t,i} \end{align} $$
這種方法最早由里德伯格在：
TH里德堡。正常逆高斯 Lévy 過程：模擬和近似。通訊。統計學家。隨機模型，13（4）：887-910，1997。