無套利定價：Q vs. P
我讀到資產定價基本定理指出，當且僅當存在等價的鞅測度 Q 時，市場是無套利的，在該測度下，貼現資產價格過程變為鞅。
為什麼 Q 的存在對無套利資產很重要，如果我們有物理量度 P，在這個物理量度下實際上可能存在套利機會？
根據我的理解，如果市場在物理機率測度 P 下不是無套利的，那麼如果存在這樣的理論測度 Q，為什麼會如此公正呢？
在衍生品的背景下，“無套利”幾乎肯定意味著正在考慮的機率測度。例如，這與高頻使用的統計套利相反。
更準確的假設是沒有 $ T\geq 0 $ 和自籌資金的投資組合 $ V $ 這樣 $ V_0 = 0 $ , $ P(V_T < 0) = 0 $ 和 $ P(V_T > 0) > 0 $ . 如果我們替換，此屬性仍然為真 $ P $ 通過任何等效措施 $ Q $ . 只需申請 $ P(A) = 0 \Leftrightarrow Q(A) = 0 $ 到 $ A = {V_T < 0} $ 和 $ A = {V_T > 0} $ .
如果你有一個等效的鞅測度 $ Q $ ，那麼你就不能進行套利。讓我們證明這一點。讓 $ V $ 是一個自籌資金的投資組合，使得 $ V_T \geq 0 $ $ Q $ -幾乎可以肯定並且 $ Q(V_T > 0) > 0 $ . 寫 $ \widetilde{V}_t = e^{-\int_0^t r_sds} V_t $ 那麼我們也有 $ \widetilde{V}_T \geq 0 $ $ Q $ -幾乎可以肯定並且 $ Q(\widetilde{V}_T > 0) > 0 $ （這些屬性在計價變化下是不變的）。由於折現值 $ \widetilde{V} $ 是一個 $ Q $ -鞅， $ V_0 = \widetilde{V}_0 = E^Q[\widetilde{V}_T] > 0 $ . 這證明你不能有套利策略 $ Q $ 所以你不能有一個 $ P $ 任何一個。這證明了資產定價基本定理的簡單部分。
現在您可能並且應該想知道為什麼要費心尋找鞅測度 $ Q $ ? 答案是它非常有用，因為根據定義，貼現資產（以及所有自籌資金的投資組合）是鞅。所以衍生品價格的計算要容易得多，因為鞅的期望是 $ T $ 等於它的初始值（至少在理論上可以在市場上觀察到）。與現實世界的區別（ $ P $ -world) 是您不需要估計標的資產的漂移（回報）（由於深刻的統計原因，預測股票在給定日期是上漲還是下跌是一件非常困難的事情）。如果您將跳躍放在一邊，期權的價值將僅取決於標的資產的波動性。實際收益之間的差異已經計入市場風險溢價 $ \lambda $ 用於定義從歷史測度到風險中性測度的變化（參見 Girsanov 定理： $ \frac{dQ}{dP}|_{\mathcal{F}_t} = \exp( -\int_0^t \lambda_s dW_s - \frac{1}{2}\int_0^t |\lambda_s|^2 ds) $ ).