條件期望的貝葉規則（證明審查）
條件期望的貝葉規則
$$ E^Q[X|\mathcal{F}]E^P[f|\mathcal{F}]=E^P[Xf|\mathcal{F}] $$ 和 $ f=dQ/dP $ - 因此是 Radon-Nikodyn 衍生物和 $ X $ 是一些隨機變數和 $ \mathcal{F} $ 是一些 sigma 代數。
因為我在我經常使用的任何書籍中都找不到證據，所以我試圖自己證明這一點。這條規則經常用在計價技術變化的背景下。
證明使用條件期望的定義/表徵。因此一個主要需要顯示
$$ \int_A E^Q[X|\mathcal{F}]E^P[f|\mathcal{F}]dP=\int_AE^P[Xf|\mathcal{F}]dP $$ 對全部 $ A\in\mathcal{F} $ 再次使用條件期望的表徵，右側等於 $ \int_A Xf dP $ 與 $ f $ 作為 Radon-Nikodyn 導數，這等於 $ \int_A X dQ $ 因此
$$ \int_AE^P[Xf|\mathcal{F}]dP=\int_A X dQ $$ 另一方面，使用可測量性 $ E^Q[X|\mathcal{F}] $ 關於 $ \mathcal{F} $ 左邊等於
$$ \int_A E^P\left[(E^Q[X|\mathcal{F}] f)\vert \mathcal{F}\right] dP $$ 再次使用條件期望的表徵，這是 $$ \int_A E^P\left[(E^Q[X|\mathcal{F}] f)\vert \mathcal{F}\right] dP=\int_A fE^Q[X|\mathcal{F}] dP $$ 終於有了 $ f $ 作為 Radon-Nikodyn 密度，一個到達 $$ \int_A fE^Q[X|\mathcal{F}] =\int_A E^Q[X|\mathcal{F}] dQ=\int_A X dQ $$ 因此 $$ \int_A E^Q[X|\mathcal{F}]E^P[f|\mathcal{F}]dP=\int_A X dQ $$ 證明到此結束。
兩個問題：
- 有誰知道我可以交叉檢查的來源
- 有沒有其他方法可以證明結果？
這是你要找的證據嗎？
– 摘自 Shreve，SE 的書“Stochastic calculus for Finance II，continuous-time Models”，第 5 章。
