Box-Muller 方法證明
在這裡，我們要證明 Box-Muller 方法生成一對獨立的標準高斯隨機變數。但我不明白為什麼我們使用行列式？對我來說，當你有兩個自變數時，聯合密度函式只是兩個密度函式的乘積。有人可以在這裡解釋一下行列式的含義嗎？請。
讓 $ Z=\sqrt{-2\ln(X_1)} $ ， 我們有
$$ \begin{align} \mathbb{P}\left[Z \leq z\right] = \mathbb{P}\left[-2 \ln(X_1) \leq z^2\right] = \mathbb{P}\left[\ln(X_1) \geq -\frac{z^2}{2}\right] = 1 - \mathbb{P}\biggl[X_1 < \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\biggr], \end{align} $$ $ X_1 $ 統一定義在 $ [0, 1] $ ， 所以 $$ \mathbb{P}[Z\leq z] = 1 - \int_0^{\exp(-z^2/2)} , dt = 1 - \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right). $$ 的確 $$ f_Z(z)=\begin{cases} \exp\left(-\frac{z^2}{2}\right),\quad z>0\ 0\qquad\qquad,\quad \text{o.w} \end{cases} $$ 讓 $ W=2\pi X_2 $ . 因此 $ X_2 $ 均勻分佈在 $ [0,1] $ ， 所以 $$ f_W(w)=\begin{cases} \frac{1}{2\pi},\quad 0< w\le 2\pi\ 0,,,,, \quad\text{o.w} \end{cases} $$ 自從 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 是獨立的， $ Z $ 和 $ W $ 應該是獨立的。我們有 $$ f_{Z,W}(z,w)=f_{Z}(z)f_{W}(w)= \begin{cases} \frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right),\quad z>0\quad \text{and}\quad 0< w\le 2\pi\ 0\qquad\qquad\quad,,\quad \text{o.w} \end{cases} $$ 定義函式 $ q:(0,\infty)\times(0,2\pi]\to \mathbb{R}^2 $ 這樣 $ q(z,w)=(z\cos(w),z\sin(w)) $ 因此 $$ \mathbb{P}{Y_1,Y_2}=\mathbb{P}{Z,W}\circ q^{-1} $$ 換句話說 $$ q_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=\frac{f_{Z, W}(q^{-1}(y_1, y_2))}{|\det(q’(q^{-1}(y_1, y_2)))|} $$ 我們可以輕鬆展示 $$ z=\sqrt{y_1^2+y_2^2} $$ 然後 $$ q_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2) = \frac{1}{2 \pi} \exp\left(-\frac{y_1^2 + y_2^2}{2}\right) $$