幾何布朗運動後股票的信賴區間
為了準備下週的期權、期貨和風險管理考試，我收到了一系列問題及其答案。不幸的是，我的講師是組織較少的一位講師，沒有回復電子郵件和嘗試諮詢。我求助於這些論壇來緩解一些壓力。
我的問題如下：
XYC Inc. 公司的股價表現出每年 7% 的瞬時波動，回報波動率為 45%。XYZ 股票在今天的價格為 55 美元時 10 個月後超過 95美元的機率是多少
當然，我會展示我嘗試的解決方案。
首先，我假設股票價格的變化遵循幾何布朗運動（GBM）。那是，
$$ \frac{\Delta S}{S_{0}}=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}\cdot \varepsilon. $$ 遵循一些代數，
$$ \begin{align*} \frac{\Delta S}{S_{0}} &=\mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \ \frac{S-S_{0}}{S_{0}} &= \mu \Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \S &= \left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t\right) + \sigma S_{0} \sqrt{\Delta t} \cdot \varepsilon \end{align*} $$ 因此，未來股票價格的分佈由下式給出
$$ S \sim \phi\left(S_{0} + \mu S_{0} \Delta t,\left(\sigma S_{0} \sqrt{\Delta t}\right)^{2}\right). $$ 代入適當的數字，
$$ S \sim \left(58.21, \left(22.59\right)^2\right). $$ 對於有關正態分佈的機率問題，我與標準化分數有關。我計算了一下
$$ z_{95} = 1.63. $$ 使用 Microsoft Excel，z 分數大於 1.63，因此股票價格大於 95 的機率由下式給出
$$ 1- \mathrm{NORMDIST(95,58.21,22.59,TRUE)}. $$ 我得到的答案是 5.17%。答案是 8.23%。
對於如何正確解決此問題的任何幫助和建議，我將不勝感激。
提前謝謝你，
古斯塔沃。
作為股價過程 $ S $ 遵循幾何布朗運動，我們有
$$ \begin{align*} S_T &= S_0 e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2), T + \sigma, W_T}\ &= S_0 e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2), T + \sigma, \sqrt{T}, \xi}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \xi $ 是標準正態隨機變數。那麼，我們有機率 $$ \begin{align*} P(S_T > 95) &= P\Big( S_0 e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2), T + \sigma, \sqrt{T}, \xi} > 95\Big)\ &= P\bigg(\xi > \frac{\ln \frac{95}{S_0} - (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2), T}{\sigma, \sqrt{T}} \bigg)\ &= 1- NORMSDIST\left(\frac{\ln \frac{95}{S_0} - (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2), T}{\sigma, \sqrt{T}} \right)\ &=NORMSDIST\left(\frac{\ln \frac{S_0}{95} + (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2), T}{\sigma, \sqrt{T}} \right). \end{align*} $$