機率
人們是否使用無界利率模型，存在哪些替代方案？
離散時間的簡單利率模型是自回歸模型，
$$ I_{n+1} = \alpha I_n+w_n $$ 在哪裡 $ \alpha\in [0,1) $ 和 $ w_n\geq 0 $ 是獨立同分佈的隨機變數。在包含此利率模型的模型中處理破產機率時，我遇到了 $ I $ 可以以正機率達到任何正值。 因此我想知道：
- 是否存在任何假設有限利率的離散時間利率模型？
- 為什麼人們使用具有無限興趣的模型（這是不現實的）？
當然有（短期）模型假設有界利率。我想我應該澄清一下——模型的設計禁止負利率。此外，一些模型漸近地達到某個目標或平均率，這被認為是均值回歸，最著名的可能是 Vasicek。
利率不能為負的短期利率模型：
Cox-Ingersoll-Ross
Black-Derman-Toy
Black-Karasinsky
Exponential Vasicek
Hull-White
利率可能為負的短期利率模型：
Ho-Lee
Vasicek
這些都是可以在離散時間內求解的隨機模型。
當然，這些模型中的每一個都有自己的缺點。例如，Black-Derman-Toy 模型中的均值回歸取決於波動率衰減，這僅在模擬波動率適合波動率隨時間減少的交易證券時才會在實踐中發生。
人們可能會使用一個利率模型，如果他們正在評估當利率變低或低於某個低但正值時回報可能為 0 的衍生品，則該模型可能會出現負利率。換句話說，有趣的事情發生在一些高正利率。
舉一個簡單的例子，想想債券的看跌期權。這個合約只有在債券價格下跌（相應的利率上升）時才會變得有趣，所以模型中是否有負利率並不重要，因為我們只對利率高時的收益感興趣。