給定布朗運動乙噸,乙s乙噸,乙sB_t,B_s和t>s噸>st>s, 如何計算磷(乙噸>0,乙s<0)磷(乙噸>0,乙s<0)P(B_t>0,B_s<0)?
如前所述，這是一個面試問題。
給定布朗運動 $ B_t,B_s $ 和 $ t>s $ , 如何計算 $ P(B_t>0,B_s<0) $ ?
放 $ X_t=B_t-B_s $ 和 $ Y_t=-B_t $ . $ X_t\sim N(0,t-s) $ 和 $ X_t $ , $ Y_s $ 是獨立的。
$$ I=P(B_t>0, B_s<0)=P(B_t-B_s>-B_s,,, -B_s>0)=P(X_t>Y_s,, Y_s>0) $$ $$ I=\frac{1}{2\pi\sqrt{s(t-s)}}\int_{0}^{\infty}\int_{y}^{\infty}\exp\left(-\frac{y^2}{2s}-\frac{x^2}{2(t-s)}\right)dxdy $$ 放$$ y={\sqrt{s}},,r\sin \theta $$ $$ \quad x={\sqrt{t-s}},,r\cos \theta $$ 我們有 $$ dx,dy=\sqrt{s(t-s)},r ,dr d\theta $$ $ y>0 $ 和 $ x>y $ 換句話說 $$ {\sqrt{s}},,r\sin \theta<{\sqrt{t-s}},,r\cos \theta $$ IE $$ \tan \theta <\sqrt{\frac{t-s}{s}} $$ 或者 $$ \theta<{\tan^{-1}\left({\sqrt{\frac{t-s}{s}}}\right)}=\cos^{-1}{\left({\sqrt{\frac{s}{t}}}\right)} $$ 所以 $$ I=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{{\cos^{-1}{\left({\sqrt{\frac{s}{t}}}\right)}}}\int_0^{\infty}r\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right)drd\theta $$ $$ I=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{{\cos^{-1}{\left({\sqrt{\frac{s}{t}}}\right)}}}-\exp\left(-\frac{r^2}{2}\right)\Big{|}{0}^{\infty}d\theta $$ $$ I=\frac{1}{2\pi}\int{0}^{{\cos^{-1}{\left({\sqrt{\frac{s}{t}}}\right)}}}d\theta=\frac{1}{2\pi}\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{s}{t}}\right) $$