對沖價值-金融數學
鍛煉
我們認為沒有套利的金融市場 $ (Ω,F,P,S_0,S_1) $ 和 $ α<S_0^{1}\cdot(1+r)<β $ ，在哪裡$$ 0<α:=min_{ω \in Ω} S_1^{1}(ω), β:=max_{ω \in Ω}S_1^{1}, α<β $$
令 C 為以下形式的金融衍生品 $ C:=h(S_1^{1}) $ 在哪裡 $ h\geq0 $ 是一個凸函式。表明對沖值 $ \overline π(C) $ 導數 $ C $ 由公式給出
$$ \overline π(C)=\dfrac{h(β)}{1+r}\cdot \dfrac{(1+r)S_0^{1}-α}{β-α}+\dfrac{α}{1+r}\cdot \dfrac{β-(1+r)S_0^{1}}{β-α} $$
問題
我們有： $$ α<S_0^{1}\cdot(1+r)<β $$和$$ 0<min_{ω \in Ω} S_1^{1}(ω)<S_0^{1}\cdot(1+r)<max_{ω \in Ω} S_1^{1}(ω) $$
我們也有$$ α<β\Longrightarrow min_{ω \in Ω} S_1^{1}(ω)<max_{ω \in Ω} S_1^{1}(ω) $$
我們有一個沒有套利的金融市場，所以我們有以下形式： $$ π(C)=E_Q\bigg[\dfrac{c}{1+r}\bigg]<\infty $$為了 $ Q\subset P $
所以，我是金融數學的新手，我沒有經驗來理解如何處理這些數據！誰能幫我解決這個問題？我如何使用這個函式 $ h \geq 0 $ 是一個凸函式。我錯過了練習給我的任何數據嗎？我該如何開始估計 $ \overline π(C) $
我真的很感激任何提示/徹底的解決方案，因為我在這種類型的練習中沒有任何經驗。
提前致謝！
注意我們可以寫 $ S_1(\omega) $ 作為一個凸組合 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 和
$$ \begin{equation} S_1(\omega) = \frac{\beta-S_1(\omega)}{\beta-\alpha} \alpha + \frac{S_1(\omega) - \alpha}{\beta-\alpha} \beta \end{equation} $$
自從 $ h $ 是一個凸函式，然後根據定義 $$ \begin{equation} h(S_1(\omega)) \leq \frac{\beta-S_1(\omega)}{\beta-\alpha} h(\alpha) + \frac{S_1(\omega) - \alpha}{\beta-\alpha} h(\beta) \end{equation} $$
採取 $ \mathbb{Q} $ - 預期值，同時注意到 $ E^\mathbb{Q}[S_1] = (1+r)S_0 $ , $$ \begin{equation} E^\mathbb{Q}[h(S_1)] \leq \frac{\beta-(1+r)S_0}{\beta-\alpha} h(\alpha) + \frac{(1+r)S_0 - \alpha}{\beta-\alpha} h(\beta) \end{equation} $$ 這為您提供了衍生品價格的上限。