投資多少才能達到目標？
你現在的財富是 $ W $ . 每天你都可以投資一些；有一個機率 $ p $ 您將贏得與投資一樣多的收益， $ 1-p $ 你會失去它。你想達到目標財富 $ W_T $ 內 $ n $ 天。每天，您可以選擇分數 $ f $ 你的財富進行投資。你如何選擇 $ f $ 最大限度地提高及時擊中目標的機會？
如果有幫助，假設 $ p > 0.5 $ , $ n \gg 1 $ .
這本質上是一個純數學問題，但我認為這對 quant 來說會很有趣。我看到過關於類似問題的討論（例如，“你能在短期內比凱利做得更好嗎？”，Browne (2000)），但他們假設了一個連續的結果和其他一些事情。我也很高興找到一種方法 $ f $ 通過模擬，解析公式不是必需的。
$$ Edit: you cannot bet more than you currently have. I should have specified this earlier. $$
讓 $ w^* $ 成為你的目標財富和 $ w_0 $ 成為您的初始金額。可以應用的一種非常有效的策略如下，
第 1 天：下注 $ w^* - w_0 $ ; 如果賭注對你有利，那麼你已經達到了你的目標財富，所以停止；別的
第 2 天：下注 $ 2(w^* -w_0) $ ; 如果賭注對你有利，那麼你已經達到了你的目標財富，所以停止；別的
第 3 天：下注 $ 4(w^* -w_0) $ ; 如果賭注對你有利，那麼你已經達到了你的目標財富，所以停止；別的
… 第 N 天：下注 $ 2^{N-1}(w^* -w_0) $ 如果賭注對你有利，那麼你已經達到了你的目標財富，所以停止；否則你沒有足夠的資金來達到你的目標財富；IE $ 2w(t) < w^* $ :(
您可以下注的數量是 $ N+1 $ 在哪裡 $ N $ 是最大整數，使得，
$$ 2 \Big ( w_0 - (w^* - w_0) \sum_{k=0}^N 2^k \Big ) \geq w^* $$ 那是，
策略成功的機率是策略在每次試驗中失敗的補充，
$$ 1 - (1-p)^{N+1} $$ 例如，如果成功的機率是 $ p=0.6 $ ，初始金額為 $ w(0)=w_0 = 100 $ ，目標財富為 $ w^* = 105 $ 然後你可以放置 $ 4 $ 投注每個人都有可能實現目標財富。成功機率是失敗機率的補集，即， $ (1-0.6)^4 = 0.0256 $ 所以達到你的目標財富的機率是 $ 1 - 0.0256 = 0.9744 $ 這是相當不錯的。您可以使用樹形圖將其視覺化，這有助於解釋推理。
總而言之，我不確定這是否是最佳的，但它似乎非常有效。
我也意識到了政策， $ f = f(w) $ 可以表示為，
$$ w(t+1) = w(t) + \max{0,w^* - w(t)}\mathcal{X}{t+1} $$ 為了 $ t \leq T $ 和 $ T $ 選擇使得它是最大的整數 $ 2w(T-1) \geq w^* $ 在所有情況下，尤其是在您每次下注都輸的情況下。 $ \mathcal{X}{t+1} $ 是一個隨機變數，取值 $ 1 $ 和 $ -1 $ 以適當的機率。
試著開始這件事，我會去做我認為最簡單的部分，如果你能原諒的話，以一種高度揮手的方式：
天數足夠大，我們可能不會以財富結束最後一天 $ W $ 之間 $ 0 $ 和目標財富 $ W_T $ ，到最後一天的時間距離失去意義，問題可以用時間不變的形式表述為 $ W $ 在破產和目標的無限邊界之間發展。為了 $ p > 0.5 $ 由於預期收益為正，我們將變得不利風險，並且我們希望謹慎下注以保持在區間內以獲得這些收益，並在許多投注之間進行多樣化的額外好處。如果相反 $ p < 0.5 $ 我們變得喜歡冒險，因為我們不想讓負的預期回報因反复遊戲而磨滅我們的財富。
然後，我們將一次性全部投入，以使我們僅面臨一次負預期回報，但不會超過達到預期回報所需的時間 $ W_T $ ; 這簡單地說明為：
為了 $ n>>1 $ 和 $ p<0.5 $ :
$$ f(W) = min(1,W_T/W-1) $$ 更新：通過相同的論點 $ n>>1 $ 和 $ p>0.5 $ :
$$ W>0: f(W) -> 0; f(0) = 1 $$ 現在，這距離最終答案還有一段距離，因為我猜這個問題是在詢問確切的表達式 $ f $ 但最好是給定一個特定值的一些近似值 $ n>>1 $ ? **更新2：**獲得最佳 $ f(w) $ 對於給定的 $ n $ 和 $ p>0.5 $ ; 從以下開始向後寫出轉換樹 $ n = 0 $ 對於幾個 $ n $ :s。對於該樹中的節點，使用最低級別的 $ W $ 在每個區間 $ W $ :s 有相同的獲勝機率。為了 $ n=1 $ 例如，我們因此有 $ W/W_t = 0.5 $ 作為區間內的一個節點。為了通過盡可能多的節點走向勝利或失敗來利用 $ p>0.5 $ 我們只需要在下一個時間步中抵押我們需要到達最近節點的東西。我們在樹中看到這個數量有時是 $ 0 $ ， 而有時 $ 1/2^n $ . 走近一看，可以進一步看出：
為了 $ p>0.5; W>=W_T/2^n $ :
如果 $ int((W/W_T)/2^n) $ 是奇數：
$$ f(W) = (1/2^n)*W_T/W $$否則：$$ f(W) =0 $$ 同樣最佳但更平滑，您可以使用鋸齒形式 $ f $ 之間線性變化 $ 0 $ 在偶數值為 $ int((W/W_T)/2^n) $ 和 $ (1/2^n)*W_T/W $ 在奇數值。
**更新3：**對於 $ p=0.5 $ 遠離最後一天，遊戲是公平的，結果並不取決於我們如何玩。我們唯一要確保的是大膽下注，不要以 $ 0<W<W_T $ 當遊戲結束時，當然不要達到讓我們超越的收益 $ W_T $ . 所以每一個選擇：
$$ 0<f<=min(1,W_T/W-1) $$遠離殘局也同樣好。使用較高的值 $ f $ 通過對稱和歸納產生$$ P(win) = W/W_T $$現在你可以使用它和平穩性 $ P(win) $ 以表明較低的值 $ f $ 也適用於這些 $ P(win) $ . $$ Edited Update 2 $$