將自相關解釋為機率
最近有人問我：
給定一個 1s 和 -1s 的隨機時間序列。例如樣本=$$ 1, 1, 1, -1, -1, 1, -1,.. $$. 這個序列的自相關是 Z。關於 1（或 -1）後跟 1（或分別為 -1）的機率你能說什麼？
我們可以進一步假設+1和-1的機率分別為0.5。
有一點很清楚，如果 Z 為 -1，則 1(-1) 後跟 1(-1) 的機率為 0，如果 Z 為 1，則機率為 1。我們能否以某種方式使用 Z 來確定重複出現的問題？
謝謝你。
$$ Note $$: 我的問題的基礎來自以下觀察。如果自相關為-1，則連續結果的機率為0，如果自相關為0，則連續結果的機率為0.5，如果自相關為1，則成功結果的機率為1。我想知道這個映射是否從自相關到機率可以在上述關鍵點之間進行插值。
認為 $ P(X_{t+1}=1| X_t=1) = q ; P(X_{t+1}=-1| X_t=1) = 1-q $
然後， $ E[X_{t+1} | X_t = 1] = 1*q + (-1)(1-q) = 2q-1 $
$ E[X_t,X_{t+1}] \ = E[E[X_t,X_{t+1} | X_t]] \ = E[X_t,X_{t+1} | X_t = 1]*P(X_t = 1) + E[X_t,X_{t+1} | X_t = -1]P(X_t = -1) \ = 1E[X_{t+1} | X_t = 1]*0.5 + (-1)*E[X_{t+1} | X_t = -1]*0.5 \ = 0.5 * ( E[X_{t+1} | X_t = 1] - E[X_{t+1} | X_t = -1] ) \ = 0.5 * (2q-1 - (1-2q)) = 2q-1 $
因此，連續發生的機率（上面證明中的 q）等於 $ \frac{autocorrelation + 1}{2} $