關於“從期權價格中恢復機率分佈” - 如何減去隨機波動的影響？
這是基於 Rubinstein/Jackwerth 在 1995 年的一篇論文，上面的標題是作者根據期權價格推斷出的股票價格分佈。但他們的方法只會產生股票價格和其他任何影響因素的聯合分佈，最突出的是波動性。
我的問題是：是否有另一種方法可以得出這種分佈，它還包含基於 vix 期貨的預期波動率變化？參考論文或程式碼會很有幫助。差異還不足以令人苦惱嗎？我對計算 VaR 感興趣，這在期權到期以外的時間範圍內也是如此。
謝謝
您無法導出所需的機率分佈，因為對於 VaR，您需要真實世界的機率分佈。從期權價格中，只能獲得風險中性分佈。
現在，如果您願意假設風險中性分佈和現實世界分佈之間存在某種參數關係，那麼您可能會發現期權價格很有用。然而，隨機波動率模型的數學計算有些棘手。您可以在 Jim Gatheral 的書中找到大部分內容。一個草率的處理只會採用風險中性分佈並改變其均值。
獲得近似的風險中性分佈相當簡單。令 p(S) 為時間 T 風險中性機率密度。然後我們看到了（TeX notation alert）
$$ \begin{equation} C := Call(T) = B(0,T) \int_0^\infty Max(0,S-K) p(S) dS \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \frac{dC}{dK} = B(0,T) \int_0^\infty 1[S>=K] (-1) p(S) dS \qquad\text{[differentiate under integral] } \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \frac{dC}{dK} = B(0,T) \int_K^\infty (-1) p(S) dS \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \frac{d^2C}{dK^2} = B(0,T) p(K) \qquad \text{ [Fundamental thm of calculus]} \end{equation} $$ 或者，您可以說 p(S) 是密度，並且是累積分佈函式 P(S) 的導數，並寫 $$ \begin{equation} C := Call(T) = B(0,T) \int_0^\infty Max(0,S-K) p(S) dS \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \frac{dC}{dK} = B(0,T) \int_0^\infty 1[S>=K] (-1) p(S) dS \qquad\text{[differentiate under integral] } \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \frac{dC}{dK} = B(0,T) \int_K^\infty (-1) p(S) dS \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \frac{dC}{dK} = B(0,T) (-1) ( P(\infty) - P(K)) \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \frac{d^2C}{dK^2} = B(0,T) p(K) \end{equation} $$ 無論哪種方式，您最終都會找到密度
$$ \begin{equation} p(x) = \frac{1}{B(0,T)} \frac{d^2C(x)}{dx^2} \end{equation} $$ 在哪裡 $ x $ 是罷工。因此，近似密度來自使用您可用的實際期權價格。您可以進行樣條插值，或者如果您有一個以 dK 間隔的規則網格，您可以製作一個值的直方圖 $$ \begin{equation} \frac{ C(K+dK) - 2C(K) +C(K-dK) }{ dK^2} \end{equation} $$ 並除以折扣因子以找到您的風險中性分佈。
如果您使您的問題更清楚（或包含指向論文副本的連結），這將有所幫助。如果您知道單個股票在所有行使價中的看漲（或看跌）期權價格 $ K $ 共同到期 $ T $ ，然後您可以得出當時的股票價格分佈 $ T $ 在裡面 $ T $ - 遠期計量（其中計價為到期的零息債券 $ T $ , 看跌期權的價格為 $ V_K(t) = D(T) E[(K-S(T))^+] $ , $ D(T) $ 作為到期的折扣因子 $ T $ ）。你可以通過區分來做到這一點 $ V_K(T) $ 兩次以上 $ K $ 並除以 $ D(T) $ . 這將為您提供簡單的股票價格分佈 $ T $ -向前測量，僅此而已。在其他測量中（特別是在現實世界測量中），這種分佈會有所不同。