與熱費率掛鉤的衍生品定價
這是一個簡化的模型。認為 $ U_t $ 是服從對數正態的隨機變數（ $ x_1 $ , $ z_1^2 $ ）分配。 $ V_t $ 是服從對數正態的隨機變數（ $ x_2 $ , $ z_2^2 $ ）分配。假設它們在這裡是獨立的。與熱耗率相關的衍生品的收益是 $ \max(U_T - V_T, 0) $ . 如何為這個選項定價？這是一個集成的東西。
這可能會讓您感到驚訝，您可以使用Black Scholes評估該選項。
關鍵概念是將您的計價從美元更改為與相關的資產 $ V $ . 這 $ V $ 在您的付款中 $ \max(U_t-V_t,0) $ 將有效地被一個常數取代，即資產的面值遠期 $ V $ 成熟時 $ t $ .
自從 $ U_t $ 和 $ V_t $ 是獨立的，您可以通過兩個標準正態隨機變數對它們進行參數化 $ \eta_1 $ , $ \eta_2 $ 平均 $ 0 $ 和標準推導 $ 1 $ :
$$ U_t = e^{x_1 + z_1 \eta_1}\quad\text{ and }\quad V_t = e^{x_2 + z_2 \eta_2} $$ 讓 $ (\cdots)^{+} $ 代表函式 $ \max(\cdots,0) $ ，期權的未來價值由積分給出：
$$ \begin{align}\text{F.V.} = & \int ( U_t - V_t )^{+} \exp( -\frac{\eta_1^2 + \eta_2^2}{2}) \frac{d\eta_1 d\eta_2}{2\pi}\ = &\int ( e^{x_1 + z_1 \eta_1} - e^{x_2 + z_2 \eta_2} )^{+} \exp( -\frac{\eta_1^2 + \eta_2^2}{2}) \frac{d\eta_1 d\eta_2}{2\pi}\ = &\int ( e^{x_1 + ( z_1 \eta_1 - z_2 \eta_2 ) } - e^{x_2} )^{+} \exp( z_2\eta_2 -\frac{\eta_1^2 + \eta_2^2}{2}) \frac{d\eta_1 d\eta_2}{2\pi}\tag{*1} \end{align} $$ 讓
$$ z = \sqrt{z_1^2+z_2^2}\quad\text{ and }\quad\begin{cases}u = \frac{z_1\eta_1 - z_2\eta_2}{z}\ \ v = \frac{z_2\eta_1 + z_1\eta_2}{z}\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}\eta_1 = \frac{z_1 u + z_2 v}{z}\ \ \eta_2 = \frac{z_1 v - z_2 u }{z}\end{cases} $$ 很容易檢查：
$$ u^2 + v^2 = \eta_1^2 + \eta_2^2 \quad\text{ and }\quad du dv = d\eta_1 d\eta_2 $$ 讓 $ U_F = e^{x_1 + \frac{z_1^2}{2}} $ 和 $ V_F = e^{x_2 + \frac{z_2^2}{2}} $ 成為資產的面值 $ U $ 和 $ V $ 成熟時 $ t $ . 我們可以重寫 $ (*1) $ 作為：
$$ \begin{align} &\int ( e^{x_1 + z u } - e^{x_2} )^{+} \exp\left( \frac{z_2(z_1 v - z_2 u)}{z} -\frac{u^2 + v^2}{2}\right) \frac{du dv}{2\pi}\ = & \int ( e^{x_1 + z u } - e^{x_2} )^{+} \exp\left( \frac{z_2^2}{2}-\frac{(u + (z_2^2/z))^2 + ( v - (z_1z_2/z))^2}{2}\right) \frac{du dv}{2\pi}\ = & \int ( e^{\tilde{x}_1 + z \tilde{u}} - e^{\tilde{x}_2} )^{+} e^{-\frac{\tilde{u}^2}{2}} \frac{d\tilde{u}}{\sqrt{2\pi}} \quad\text{ where } \begin{cases} \tilde{u}; = u + (z_2^2/z)\ \tilde{x}_1 = x_1 - z \frac{z_2^2}{z} + \frac{z_2^2}{2} = \log U_F - \frac{z^2}{2}\ \tilde{x}_2 = x_2 + \frac{z_2^2}{2} = \log V_F \end{cases}\end{align} $$ 結果，我們有： $$ \text{F.V.} = \int ( U_F,e^{z\tilde{u} - \frac{z^2}{2}} - V_F )^{+} e^{-\frac{\tilde{u}^2}{2}} \frac{d\tilde{u}}{\sqrt{2\pi}}\tag{*2} $$ 這只不過是帶有行使價的看漲期權的未來價值 $ V_F $ 在具有面值的資產上 $ U_F $ 和標準推導 $ z $ 在成熟時。您可以使用 Black Scholes 完成積分。
如果 $ U_t $ 和 $ V_t $ 彼此不獨立，仍可以將 FV 轉換為形式的積分 $ (*2) $ . 唯一的區別是 $ U_F $ 和 $ z $ 會有一些因素的調整。
如果您想學習如何處理具有相關性的案例，請閱讀任何有關期權定價的標準教科書，並尋找雙元期權的定價。您在為雙元期權定價時遇到的問題類似於您在對數正態模型下為熱連結期權定價所需的問題。