維納過程最小值的機率密度函式
讓 $ W_t $ 是一個標準的維納過程。求機率密度函式 $ m_T = min_{t\in [0,T ]}W_t $ .
我知道它是基於反射原理的概念，但我不太確定如何為此計算機率密度函式。
首先， $ m_T=\min\limits_{t\in[0,T]} B_t = -\max\limits_{t\in[0,T]} -B_t \overset{Law}{=} -\max\limits_{t\in[0,T]} B_t = -M_T $ . 因此，您可以考慮執行最大值或最小值。
讓 $ \tau $ 是一個停止時間和 $ (B_t) $ 布朗運動。然後， $$ \begin{align*} W_t =\begin{cases} B_t & t\leq \tau, \ 2B_\tau - B_t & t\geq \tau, \end{cases} \end{align*} $$ 又是一個標準的布朗運動（這是反射原理）。
為了 $ a\geq 0 $ 和 $ t>0 $ ，反射原理意味著 $$ \begin{align*} \mathbb{P}[{M_T\geq a}] &= 2\mathbb{P}[{B_t\geq a}] \ \implies \mathbb{P}[{M_T\leq a}] &= 2\mathbb{P}[{B_t\leq a}]-1 \ &= 2\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)-1. \end{align*} $$
因此，機率密度函式 $ (M_t) $ 是（誰）給的 $$ \begin{align*} f_{M_t}(x) &= \frac{\partial }{\partial x} \left(2\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1\right) \ &= \frac{2}{\sqrt{t}}\varphi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right) \ &= \sqrt{\frac{2}{t\pi}}e^{-\frac{1}{2t}x^2} \end{align*} $$ 為了 $ x\geq0 $ 和 $ f_{M_t}(x)=0 $ 為了 $ x<0 $ . 該函式顯然是非負的，您可以很容易地看到它集成為一個。
這裡， $ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} $ 是標準正態分佈隨機變數的 pdf，並且 $ \Phi $ 相應的 cdf。