機率
關於布朗運動的機率問題
認為 $ W_{t} $ 是一個標準的布朗運動，計算機率 $ W_{t}*W_{2t} $ 是負數，即 $ P(W_{t}*W_{2t}<0) $ . 我發現計算機率很棘手。謝謝。
你的分解是正確的。我將在這裡展示一個術語的計算： $$ \begin{align*} P(W_t < 0, W_{2t} >0) &= P(W_t < 0, W_{2t}-W_t > -W_t)\ &= E\Big(E\big(\mathbb{1}{{W_t < 0}}\mathbb{1}{{W_{2t}-W_t > -W_t}}\mid W_t\big)\Big)\ &= E\Big(\mathbb{1}{{W_t < 0}} \Phi\big(W_t/\sqrt{t}\big)\Big) \ &=E\Big(\mathbb{1}{{W_t/\sqrt{t} < 0}} \Phi\big(W_t/\sqrt{t}\big)\Big) \ &=\int_{-\infty}^0 \phi(x) \Phi(x) dx\ &=\frac{1}{2}\Phi(x)^2\mid_{-\infty}^0\ &=\frac{1}{8}, \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align*} $$ 是標準正態隨機變數的密度，並且 $ \Phi(x) $ 是累積分佈函式。