股票價格低於行使價的機率
我如何證明在風險中性機率下：
$ \mathbb{P}[S_{t}<K]=-\frac{\partial{C}}{\partial{K}}(K,T) $
在哪裡
$ S_{t} $ 是股票價格，K是執行價格，C是看漲期權價格
謝謝 ！
你的發帖有錯誤，就是身份應該是
$$ \begin{align*} -P(0, T) \mathbb{P}(S_T > K) = \frac{\partial C}{\partial K}. \end{align*} $$ 下面的推導就是基於這個假設。我們表示 $ f(x) $ 密度函式 $ S_T $ . 然後 $$ \begin{align*} \mathbb{P}(S_T > K) = \int_K^{\infty} f(x) dx, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} C(K, T) &= P(0, T) \mathbb{E}\big((S_T-K)^+ \big)\ &=P(0, T) \int_K^{\infty}(x-K) f(x) dx\ &= P(0, T)\bigg[\int_K^{\infty} x f(x) dx - K \int_K^{\infty}f(x) dx \bigg]. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial K} = -P(0, T)\int_K^{\infty} f(x) dx. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} -P(0, T) \mathbb{P}(S_T > K) = \frac{\partial C}{\partial K}. \end{align*} $$ 我們還可以得到
$$ \begin{align*} P(0, T) f(K) = \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}. \end{align*} $$