證明磷(小號噸<0|小號0=s0)=0磷(小號噸<0|小號0=s0)=0mathbb{P}(S_t<0|S_0=s_0)=0幾何BM
我試圖證明對於股票的幾何布朗運動 $ \textrm{d}S_t=\mu S_t\textrm{d}t+\sigma S_t\textrm{d}B_t $ 具有嚴格的正常數 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 並且和 $ S_0=s_0>0 $ ， 我們有 $ \mathbb{P}(S_t<0|S_0=s_0)=0 $ . 條件機率看起來很奇怪，就像我們應該從 Feynman-Kac 公式得到的一樣， $ \mathbb{P}(S_t<0)=\mathbb{E}(\mathbf{1}_{S_t<0}) $ . 但是，我不確定如何構造 PDE 來求解並因此得出所需的機率。我是否走在正確的軌道上，如果是這樣，應該如何建構 PDE？如果不是，應該採取什麼步驟？謝謝！
我認為獲得 GBM 解決方案的最簡單方法是通過 Ito 的引理。
GBM： $ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $ 是以下的簡寫：
$$ S_t = S_0 + \int_{h=0}^{h=t}\left(\mu S_h\right)dh + \int_{h=0}^{h=t}\left(\sigma S_h\right)dW_h $$
伊藤工藝定義為：
$$ X_t = S_0 + \int_{h=0}^{h=t}\left(a(X_h,h)\right)dh + \int_{h=0}^{h=t}\left(b(X_h,h)\right)dW_h $$
（在哪裡 $ a(X_t,t) $ 和 $ b(X_t,t) $ 必須是平方可積的）。在 GBM 案例中， $ X_t = S_t $ , $ a(X_t,t)=\mu S_t $ 和 $ b(X_t,t) = \sigma S_t $ ，所以 GBM 是一個 Ito 程序。
伊藤引理指出，對於任何表現良好的函式 $ F() $ 的 $ X_t $ 和 $ t $ ， 在哪裡 $ X_t $ 必須是 Ito 程序，該程序為 $ F(X_t,t) $ 如下：
$$ F(X_t,t)= F(X_0,t_0) + \int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}a(X_h,h)+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2\right)dh + \int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h $$
要導出 GBM 的解，設置 $ F(S_t,t)=ln(S_t) $ （為什麼我們可以在沒有“先驗”知道GBM SDE是否為 $ S_t $ 可能會產生負面影響 $ S_t $ 價值觀？見底部*)。然後，計算導數，我們得到： $ \frac{\partial F}{\partial t}=0 $ （因為 $ F=ln(S_t) $ 只是一個函式 $ S_t $ 並不是 $ t $ 明確）， $ \frac{\partial F}{\partial S}=\frac{1}{S_t} $ , $ \frac{\partial F^2}{\partial S^2}=-\frac{1}{S_t^2} $ .
將上述導數代入方程為 $ F $ ，我們得到：
$$ F(X_t,t)= ln(S_0) + \int_{h=0}^{h=t}\left(0+\frac{1}{S_h}a(X_h,h){=\mu S_h}-\frac{1}{2}\frac{1}{S_h^2}b(X_h,h)^2{=\sigma^2 S_h^2}\right)dh + \int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{S_h}b(X_h,h){=\sigma S_h}\right)dW_h=\=ln(S_0) + \int{h=0}^{h=t}\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dh + \int_{h=0}^{h=t}\left(\sigma \right)dW_h=\=ln(S_0)+(\mu - 0.5 \sigma^2)t + \sigma W_t $$
和 $ F(X_t,t)=ln(S_t) $ ，我們現在只需對雙方取冪即可得到：
$$ S_t=S_0e^{(\mu-0.5 \sigma^2)t+\sigma W_t} $$
現在我們可以繼續討論機率問題：
$$ \mathbb{P}(S_t<0|S_0=s_0)=\mathbb{P}(s_0e^{(\mu-0.5 \sigma^2)t+\sigma W_t}<0)=\=\mathbb{P}(e^{(\mu-0.5 \sigma^2)t+\sigma W_t}<0)=\=\mathbb{P}(e^{(\mu-0.5 \sigma^2)t}e^{\sigma W_t}<0)=\=\mathbb{P}(e^{\sigma W_t}<0) $$
現在 $ \sigma W_t \epsilon \mathbb{R} $ 和 $ e^x>0 \forall x\epsilon \mathbb{R} $ ，所以我們可以推斷：
$$ \mathbb{P}(e^{\sigma W_t}<0)=0 $$.
編輯：*這裡給出了一個很好的證明。借用那個證明：
和 $ S_0>0 $ ， 放 $ \tau $ 成為 SDE 的第一次 $ S_t $ 使 $ S_t $ 打零。認為 $ \tau < \infty $ . 那麼，對於一些 $ 0<t<\tau $ ，取日誌得到：$$ ln(S_t)=ln(S_0)+\mu t -0.5 \sigma^2t + \sigma W_t $$作為 $ t\uparrow \tau $ , LHS 去 $ -\infty $ ，而 RHS 收斂到一個有限量。矛盾證明 $ \mathbb{P}(\tau < \infty)=0 $ .