分位數正態和對數正態
假設我們有一個正態分佈 $ X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) $ . 在正態分佈中，分位數可以計算如下：
$$ \begin{equation} \Phi_X ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1) \end{equation} $$ 如果我們想計算股票未來的價值，我們將其映射為：
$$ \begin{equation} Y=\exp(X) \end{equation} $$ 意思是： $$ \begin{equation} \log(Y)\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{equation} $$ 我想知道分位數的函式是否可以直接根據以下公式計算：
$$ \begin{equation} \Phi_Y ^{-1}(p)=\exp(\mu -\sigma/2+\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)) \end{equation} $$ 方程的部分 $ -\sigma/2 $ 是從 îto 微積分中提取的，但是，我在任何地方都找不到這個等式的正確性（我推導出來的）。我認為功能 $ exp $ 是單調的，所以它應該保留分位數的值，但我不確定。我可以肯定的一點是 $ \mu $ 變成 $ \mu-\sigma/2 $ ，我不知道這是否會以某種方式修改 $ \Phi_Y ^{-1}(p) $ ， 或者如果 $ \sigma $ 也變了。
分位數在單調變換下被保留，因此分位數為 $ Y $ 只是分位數的指數 $ X $ ，無需任何更正（例如，請參見此處）。
否則，讓 $ q $ 表示分位數 $ \alpha $ 的 $ X $ IE
$$ \Bbb{P}(X \leq q) = \alpha $$ 然後 $$ \begin{align} \Bbb{P}( X \leq q ) &= \Bbb{P}( \underbrace{\exp(X)}{Y} \leq \underbrace{\exp(q)}{Q} ) = \alpha \end{align} $$