隨機變數和獨立性
我在這個證明上遇到了麻煩：
讓 $ {Z_i}_{i\in\mathbb{Z}} $ 是具有零均值和單位標準差的獨立同分佈隨機變數。為了 $ (a_0, a_1, …, a_r) $ 一系列 $ r $ 實數和 $ j\in\mathbb{Z} $ ， 讓
$$ \begin{align} Y_j & = \sum_{i=0}^ r a_i Z_{j-i} \end{align} $$ 為了 $ r=2 $ , 陳述並證明關於 $ (a_0, a_1, a_2) $ 這樣 $ Y_j $ 和 $ Y_{j-1} $ 無論機率分佈如何，都是獨立的 $ Z $ .
在這種情況下如何證明獨立性？我正在考慮應用卷積然後顯式 $ (a_0, a_1, a_2) $ 以某種方式 $ f_{Y_{j}, Y_{j-1}} = f_{Y_j}f_{Y_{j-1}} $ 成立……但它似乎有點複雜，我真的不知道如何以更簡單的方式解決問題。任何幫助將不勝感激！
寫出簡單的方程式
$$ \begin{align} Y_j &= a_0 Z_j + a_1 Z_{j-1} + a_2 Z_{j-2}\ Y_{j-1} &= a_0 Z_{j-1} + a_1 Z_{j-2} + a_2 Z_{j-3} \end{align} $$ 有一些非常簡單的案例可以使 $ Y_j \perp Y_{j-1} $ 由於隨機變數的獨立性假設 $ {Z_i}_{i\in\mathbb{Z}} $ . 一個例子是 $ a_0 \in \mathbb{R}\setminus {0},, a_1 = 0,, a_2 = 0 $ . 不確定您是否正在尋找完整的解決方案，但這應該可以幫助您入門。
此外，對不獨立的 RV 的簡單檢查是使用共同定理的對立形式
$$ X\perp Y \implies E[XY] = E[X]E[Y] $$ 請注意，此陳述的反面是不正確的。 證明
斷言 $ a_1a_0 + a_2a_1 = 0 \iff Y_j \perp Y_{j-1} $
定義 $ \mu = E[Z] $
( $ \implies $ ） 認為 $ a_1a_0 + a_2a_1 = 0 $ . 有兩種情況是可能的。案例1，假設 $ a_1 = 0 $ . 方程變為
$$ \begin{align} Y_j &= a_0 Z_j + a_2 Z_{j-2}\ Y_{j-1} &= a_0 Z_{j-1} + a_2 Z_{j-3} \end{align} $$ 他們的 $ \sigma $ -代數由下式給出 $ \sigma(Y_j) = \sigma(Z_j)\cup\sigma(Z_{j-2}) $ 和 $ \sigma(Y_{j-1}) = \sigma(Z_{j-1})\cup \sigma(Z_{j-3}) $ . 因此 $ Y_j \perp Y_{j-1} $ . 這可能會更詳細，但我認為有些是理所當然的。有關更多詳細資訊，包括定義等，請參閱此內容。
案例2，假設 $ a_2 = 0 $ 和 $ a_0 = 0 $ . 方程變為
$$ \begin{align} Y_j &= a_1 Z_{j-1} \ Y_{j-1} &= a_1 Z_{j-2} \end{align} $$ 相同 $ \sigma $ -代數論證更容易應用，但更優雅的解決方案以 CDF 的形式出現。
$$ \begin{align} F_{Y_j, Y_{j-1}}(y_j, y_{j-1}) &= P(Y_j \leq y_j \text{ and } Y_{j-1} \leq y_{j-1}) \ & = F_{Z_j}(y_j/a_1)F_{Z_{j-1}}(y_{j-1}/a_1)\ & = F_{Y_j}(y_j)F_{Y_{j-1}}(y_{j-1}) \end{align} $$ ( $ \impliedby $ ） 認為 $ Y_j \perp Y_{j-1} $ 根據定理，我們知道 $ E[Y_j Y_{j-1}] = E[Y_j]E[Y_{j-1}] $ 分別計算這些值，
$$ \begin{align} E[Y_jY_{j-1}] & = (a_0^2 + a_0a_1 + a_0 a_2 + a_1^2 + a_1 a_2 + a_2 a_0 + a_2^2 )\mu^2 \ & + (a_1a_0 + a_2a_1)E[Z^2] \end{align} $$ $$ \begin{align} E[Y_j]E[Y_{j-1}] & = (a_0^2 + a_0a_1 + a_0 a_2 + a_1^2 + a_1 a_2 + a_2 a_0 + a_2^2)\mu^2\ &+ (a_1a_0 + a_2a_1)\mu^2 \end{align} $$ 在非退化的情況下，當分佈 $ Z $ 不是一個常數，變異數是嚴格正的，所以 $ E[Z^2] - \mu^2 > 0 $ 所以 $ E[Z^2] > \mu^2 $ 更重要的是 $ E[Z^2] \neq \mu^2 $ 因此對於平等 $ E[Y_j Y_{j-1}] = E[Y_j]E[Y_{j-1}] $ 持有，它必須是這樣的 $ a_1a_0 + a_2a_1 = 0 $ .
我的第一個想法是嘗試編寫特徵函式並使用此處關於獨立性的底部答案中所述的定理：https ://math.stackexchange.com/questions/376511/a-criterion-for-independence-based-on -特徵函式