甕球和機率
將以下球視為人口中的個體。
說我有 $ U $ 骨灰盒，還有一些球。這兩個數字都很大。如此之大，以至於像布蘭查德和戴蒙德這樣的作者已經用Poisson機率近似了二項式運算。
球要麼是紅色的（ $ R $ ) 或綠色 ( $ G $ ）。在該階段開始時，每個球都（隨機，iid）被扔進一個甕中。沒有錯失機會（即每個球都在某個甕中）。有些骨灰盒會有多個球，有些可能沒有。
在這個設置中我想做兩個練習，我不確定它們在多大程度上重疊（即幫助我理解一個也會幫助我理解另一個），所以我會發布兩個。
我的問題有點像我正在進行二項式思維，你可以從我強加於解決以下機率的結構中看到這一點。我應該改用Poisson機率嗎？解決以下設置的最簡潔方法是什麼？
紅球獨奏
我想計算一個紅球（從紅球的角度）被扔進沒有其他紅球的甕中的事前機率。
到目前為止，我正在考慮做
$$
Prob(\text{sole red ball}) = \sum_{x = 1}^{R + G} Prob(\text{Urn has $x$ balls}) \cdot \sum_{y=0}^{x-1}Prob(\text{No other red ball } | x \text{ balls}) $$紅球超級球
從每個甕中，一個紅球變成一個超級球。這個機率是一致的。我想計算一個紅球變成超級球的機率。
我的抽像想法再次相似：
$$
Prob(\text{red ball becomes super ball}) = \sum_{x = 1}^{R + G} Prob(\text{Urn has $x$ balls}) \cdot \sum_{y=0}^{x-1}Prob(\text{$y$ other red balls | $x$ total balls }) \frac{1}{1+y} $$
（如果骨灰盒是空缺的，球是失業的，那麼紅/綠二分法反映了失業工人之間的什麼區別？）
每個球的前面都有一個相同的盒子，每個盒子裡都有完全相同的彩票，彩票上都有一個數字，每個數字對應一個甕。
我們說“走！” 每個球“隨機”（即以相等的機率）從它前面的盒子中抽出一張票。請注意，機率是均勻的要求，強加一個條件，如果我們想要有適當的分佈，骨灰盒的數量必須是有限的（甚至不是可數無限的 - 請參閱statistics.se 中的這篇文章）然後：
RED BALL SOLO
從單個紅球的角度來看，它會抽到其他紅球沒有抽到的數字的機率是多少？
由於每個球獨立於其他球，很明顯我們根本不關心綠球的存在，以至於“一個甕中的球數”不存在上限（如果存在則平局不會是獨立的）。所以綠球（他們的號碼和他們從盒子裡抽出的東西）可以被排除在圖片之外。
由於紅球無法區分，讓我們採取 $ R_1 $ 作為我們的英雄。如果抽到號碼 $ 1 $ （即有條件）我們想要機率
$$ \Pr(R_j \neq 1 \mid R_1 =1);; j=2,…N_R $$ 但是抽獎是獨立的，所以我們想要簡單 $$ \Pr(R_j \neq 1) = \prod_{j=2}^{N_R}[1-\Pr(R_j = 1)] = (1-1/N_U)^{N_R-1} $$ 但 $ R_1 $ 不僅能畫 $ “1” $ , 但任何數字，並且每個都有機率 $ 1/N_U $ . 所以我們想要的事件的機率，表示它 $ \Pr(\text{RBS}) $ 是（全機率定律）
$$ \Pr(\text{RBS}) = \sum_{i=1}^{N_U}\left(\frac {1}{N_U}\right)\cdot \Pr(R_j \neq i \mid R_1 =i) = \left(\frac {1}{N_U}\right)\sum_{i=1}^{N_U}(1-1/N_U)^{N_R-1} $$ $$ \implies \Pr(\text{RBS}) = \left(\frac {1}{N_U}\right) \cdot N_U \cdot (1-1/N_U)^{N_R-1} = (1-1/N_U)^{N_R-1} $$ …再次。
這很直覺：骨灰盒數量越多，機率越高。紅球的數量越多，機率越低。
現在，像往常一樣定義就業市場緊張
$$ \theta = N_U/N_R \implies N_R = \frac 1 {\theta} N_U $$ （這裡的“U”表示“骨灰盒”所以空缺）。然後
$$ \Pr(\text{RBS}) = \left(1-\frac 1{N_U}\right)^{\frac 1 {\theta} N_U-1} $$ 如果 $ N_U $ 增長“大”然後上面很好地近似為
$$ \Pr(\text{RBS}) \approx e^{-\frac 1 {\theta} } $$ 就業市場的緊張程度越高，失業者單獨匹配職位空缺的可能性就越高（同樣，忽略綠黨代表的內容）。