隨機遊走與漂移的變異數
對於高斯隨機變數 $ \xi_t $ 平均 $ \mu_t $ 和標準差 $ \sigma $ ，考慮具有初始條件的隨機遊走 $ P_0=100 $ , 這樣
$$ \begin{equation} P_t=P_{t-1}(1+\xi_t). \end{equation} $$
我假設變異數 $ P_t $ 滿足 $$ \begin{equation*} \begin{split} \text{Var}P_{t}&=\text{Var}\left(P_{0}\prod_{i=1}^{t}\left(1+\xi_{i}\right)\right),\&=P_{0}^{2}\left(\mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^{t}\left(1+\xi_{i}\right)^{2}\right]-\mathbb{E}\left[\prod_{i=1}^{t}\left(1+\xi_{i}\right)\right]^{2}\right),\&=\mathbb{E}\left[P_{t}\right]^2\left(\left(1+\frac{\sigma^{2}}{\mathbb{E}\left[P_{t}\right]}\right)^{t}-1\right). \end{split} \end{equation*} $$
但是，我想知道這是否可以證明是變化的平均值 $ u_t $ , 這樣 $ \mathbb{E}[P_t]\neq P_0(1+\mu)^t $ . 任何幫助將非常感激。
設置
讓
$$ Z_n\equiv \prod\limits_{i=1}^n(1+x_i) $$
其中每個 $ x_i $ 是 iid 正態分佈為 $ x_i\sim \mathrm{N}\left(\tilde{\mu},\sigma\right) $ . 為簡單起見，並濫用一些符號，讓 $ \mu = 1 + \tilde{\mu} $ ， IE
$$ Z_n\equiv \prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)\sim\prod\limits_{i=1}^n(\mu + \sigma\varepsilon_i) $$
其中每個 $ \varepsilon_i $ 是 iid 標準正常嗎， $ \varepsilon_i\sim \mathrm{N}\left(0,1\right) $ . 注意
$$ Z_n\equiv \prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)\sim\prod\limits_{i=1}^{n-1}(\mu + \sigma\varepsilon_i)\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right)=Z_{n-1}\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right) $$ 我們將在下面使用。
第一時刻和第二時刻
$$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_1\right)&=\mathrm{E}\left(\mu+\sigma\varepsilon_1\right)\ &=\mu \end{align} $$ 接著： $$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_n\right)&=\mathrm{E}\left(Z_{n-1}\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right)\right)\ &=\mu\mathrm{E}\left(Z_{n-1}\right) + \sigma\mathrm{E}\left(\varepsilon_{n}Z_{n-1}\right)\ &=\mu\mathrm{E}\left(Z_{n-1}\right)\ &=\mu\mathrm{E}\left(\left(\mu+\sigma\varepsilon_{n-1}\right)Z_{n-2}\right)\ &=\ldots\ &=\mu^{n-1}\mathrm{E}\left(Z_{1}\right)\ &=\mu^n\ &=\left(1 + \tilde{\mu}\right)^n \end{align} $$
如果平均值 $ \tilde{\mu_t} $ 是時間相關的，那麼 $$ \mathrm{E}\left(Z_n^2\right)=\prod\limits_{t=1}^n\left(1+\tilde{\mu_t}\right) $$
同樣地，
$$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_1^2\right)&=\mathrm{E}\left(\left(\mu+\sigma\varepsilon_1\right)^2\right)\ &=\mathrm{E}\left(\mu^2+2\sigma\mu\varepsilon_1+\sigma^2\varepsilon_1^2\right)\ &=\mu^2+\sigma^2 \end{align} $$ 接著 $$ \begin{align} \mathrm{E}\left(Z_n^2\right)&=\mathrm{E}\left(Z_{n-1}^2\left(\mu+\sigma\varepsilon_n\right)^2\right)\ &=\mathrm{E}\left(\mu^2Z_{n-1}^2\right)+2\sigma\mathrm{E}\left(\varepsilon_nZ_{n-1}^2\right)+\sigma^2\mathrm{E}\left(\varepsilon_n^2Z_{n-1}^2\right)\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)\mathrm{E}\left(Z_{n-1}^2\right)\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)\mathrm{E}\left(\left(\mu+\sigma\varepsilon_{n-1}\right)^2Z_{n-2}^2\right)\ &=\ldots\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)^{n-1}\mathrm{E}\left(Z_{1}^2\right)\ &=\left(\mu^2+\sigma^2\right)^{n}\ &=\left(\left(1+\tilde{\mu}\right)^2+\sigma^2\right)^{n} \end{align} $$
如果平均值 $ \tilde{\mu_t} $ 是時間相關的，那麼 $$ \mathrm{E}\left(Z_n^2\right)=\prod\limits_{t=1}^n\left(\left(1+\tilde{\mu_t}\right)^2+\sigma^2\right) $$
變異數
最後，
$$ \begin{align} \mathrm{Var}\left(Z_n\right)&=\mathrm{E}\left(Z_n^2\right)-\mathrm{E}\left(Z_n\right)^2\ &=\left(\left(1+\tilde{\mu}\right)^2+\sigma^2\right)^{n}-\left(1 + \tilde{\mu}\right)^{2n} \end{align} $$