日曆傳播不等式的證明
Calendar-Spread-Inequality 比較了同一標的非股息支付股票的兩個歐洲看漲期權的價格，但到期日不同 $ T_1<T_2 $ . 用行使價表示看漲期權的價值 $ K $ 和成熟 $ T $ 有時 $ t\leq T $ 作為 $ C_K(t,T) $ （看跌期權將表示為 $ P_K(t,T) $ ）。日曆價差不等式然後指出：
$$ C_{K’}(t,T_1)\leq C_K(t,T_2), $$
在哪裡 $ K’=Ke^{-r(T_2-T_1)} $ .
為了證明這一點，我們首先考慮單調性引理（參見 Stephen Blyth 的“An Introduction to Quantitative Finance”），該引理指出，在無套利假設下，如果兩個投資組合， $ A $ 和 $ B $ , 有值 $ V^A(T’)\leq V^B(T’) $ 有時 $ T’ $ ，它們的值必須服從 $ V^A(t)\leq V^B(t) $ 隨時 $ t\leq T’ $ . （此處不作證明。）
現在，考慮兩個投資組合， $ A $ 和 $ B $ ， 和 $ A={\text{own one call with strike $K’$ and maturity $T_1$}} $ 和 $ B={\text{own one call with strike $K$ and maturity $T_2$}} $ . 當時 $ T_1 $ 我們有 $ V^A(T_1)=\text{max}{0,S_{T_1}-K’} $ .
根據歐式期權的看跌期權平價： $ C_K(t,T)-P_K(t,T)=S_t-Ke^{-r(T-t)} $ ， 意思就是 $$ \begin{align} C_{K’}(T_1,T_1)=V^A(T_1)&=\text{max}{0, S_{T_1}-Ke^{-r(T_2-T_1)}}\ &=\text{max}{0,C_K(T_1,T_2)-P_K(T_1,T_2)}\ &\leq C_K(T_1,T_2)=V^B(T_1), \end{align} $$ 自從 $ P_K\geq0 $ . 通過單調性引理，我們發現 $ C_{K’}(t,T_1)\leq C_K(t,T_2) $ 為了 $ t\leq T_1 $ .
這個證明是正確的還是我遺漏了什麼？
儘管我相信總體構想很好，但我還沒有檢查您證明的所有細節。
這是一個較短的證明 $ r=0 $ 我希望這對你也有幫助。我會離開 $ r\neq0 $ 供您概括。讓 $ T > t $ ， 然後：
$$ \begin{align} E_0 \left[ (S_T - K)+ \right] &= E_0 \left[ E_t \left[ (S_T - K)+ \right] \right] \ &\geq E_0 \left[ ( E_t (S_T) - K)+ \right] \ &= E_0 \left[ ( S_t - K)+ \right]. \end{align} $$