這種歐式期權定價方法有什麼問題？
Carr-Madan 證明了呼叫價格與基礎模型的特徵函式之間存在簡單的關係。
請參閱其原始論文http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.348.4044&rep=rep1&type=pdf中的公式 5 和 6 。
對於許多模型，我們確實具有特徵函式。（Levy 模型、Heston 模型和許多其他 stoch-vol 模型）。
因此，使用高斯正交或梯形規則幾乎可以立即評估上述積分！
所以我要問的問題是……為什麼文獻中繼續關注數字歐式期權定價？
問題沒有解決嗎？
或者改寫我的問題：上述方法何時“不起作用”？還是不能“足夠快”/“足夠準確”？
我的意思是，你可以去 arxiv.org 找到很多奇怪而復雜的方法來給歐洲人定價，而我只是站在這裡想“呃……好吧……但是為什麼不直接使用 Carr-Madan 公式？？？ ”。
首先，Carr 和 Madan (1999) 的快速傅里葉變換方法沒有任何問題。然而，有很多原因導致對其他數值方法進行研究。
- 您可能有一個模型，其中您不知道特徵函式（例如局部波動率）。然後，Carr Madan 方法根本不適用，您必須有快速的替代方案來計算價格和希臘人。
- 您可能希望對 Carr Madan 也不適用的路徑相關期權定價，並且您使用歐式期權作為範例。
- 您也許可以找到比 Carr Madan 更快的更好方法。Crisostomo (2018) 認為 Carr Madan 並不是最快的方法，並強調了行使價矢量化的重要性。同樣，COS 方法以其速度而著稱。
- 您有尋找合適（最佳）阻尼係數的問題 $ \alpha $ ，這需要在開始時進行一些優化。Lord and Kahl (2007) 有一篇論文討論瞭如何找到一個最優的 $ \alpha $ . 此外，Carr Madan 方法與高度 OTM 選項作鬥爭。
話雖如此，Carr Madan 是一種簡單、流行且強大的歐式期權定價方法，特別是對於 Levy 模型和隨機波動率模型。一些著名的擴展是在同一篇論文（Carr 和 Madan (1999)）中提出的 OTM 方法，並使用（例如）Black-Scholes 期權價格作為控制變數。但這並不意味著人們不能尋求改進它。最後，有時研究甚至是關於嘗試不起作用的東西並確認已知的算法/方法確實是最優的。但只有當你好奇並嘗試新事物時，你才會發現這樣的結果。
問題沒有解決。伊藤微積分工作所必需的假設非常強，選擇正態和對數正態是因為它們有已知的解，而不是因為有人認為它們是正確的。
微積分中的假設之一是參數是已知的。所以，如果你有自回歸方程 $ x_{t+1}=\beta{x}t+\epsilon{t+1} $ 並且參數是已知的，那麼由於需要的技能水平有點痛苦，但它仍然是一個易於處理的問題。
如果 $ \beta $ 不知道和 $ \beta>1 $ ，那麼有一個證據表明不存在對問題的有意義的解決方案，該解決方案也保留在所使用的公理中。數學和經濟學之間存在衝突。當然，如果 $ \beta\le{1} $ 那麼沒有人會投資。
我提出了一種新的微積分來解決這個問題。您可以在https://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/a-generalized-stochastic-calculus找到指向它的連結。
我放棄了參數已知的假設。它解決了一個一直存在的決策理論問題，因為我要求解決方案是一個足夠的統計量，一階隨機地支配替代解決方案並最大限度地減少不幸樣本的損失。問題是，如果有這樣的要求 $ \theta $ 已知且不可知，則您無法對價格做出正確的決定。
另一方面，如果 $ \hat{\theta} $ 是決策的充分統計量，則知識 $ \theta $ 無關緊要。它已從問題中刪除。不幸的是，我似乎無法發布它，所以我無法發布期權定價模型。
您還可以觀看此影片以查看部分問題https://youtu.be/R3fcVUBgIZw。
抱歉，整個數學太長了，不能在這裡發帖。